теорема Піфагора

Прямокутні трикутники з цілими сторонами досі іноді називаються єгипетськими трикутниками. У той же час з давньоєгипетських папірусів математичного змісту, що збереглися, неможливо отримати жодних свідоцтв про знайомство з теоремою Піфагора, навіть у її окремому випадку. Цілком можливо, що єгиптяни знали тільки про один цілий прямокутний трикутник, і знали про нього не раніше середини I тисячоліття до н. е. - Часу, до якого відносяться перші грецькі відомості про єгипетський метод побудови прямого кута.

На відміну від єгиптян, давні вавилоняни ще в середині II тисячоліття до н. е. добре знали, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Збереглася таблиця, з якої ясно, що вавилонянам були відомі багато «піфагорових трійок» цілих чисел, що задовольняють рівності, в тому числі зовсім нетривіальні (наприклад, 72, 65, 97 або 3456, 3367, 4825). На жаль, ми нічого не знаємо про те, яким методом було знайдено ці числа. Теорема Піфагора використовувалася обчислення діагоналі квадрата; радіуса кола, описаного у рівностороннього трикутника; сторін правильних -кутників. Збереглися й деякі завдання, при вирішенні яких треба скористатися цією теоремою: наприклад, потрібно визначити довжину жердини, який спочатку вертикально притулений до стіни, а потім нахиляється так, що його верхній кінець опускається на три лікті, а нижній відходить від стіни на 6 ліктів.

Чи можете ви вирішити це завдання?

Нехай довжина стрижня ліктів. Тоді за теоремою Піфагора

2 = ( - 3) 2 + 6 2, звідки

На цьому кресленні видно, що великий квадрат 2 більший, ніжквадрат гіпотенузи 2 на чотири прямокутних трикутника катетами і , тобто на 2:

Значить, квадрат гіпотенузи дорівнює великому квадрату, зменшеному на два прямокутники зі сторонами і тобто зафарбованої фігурі. А ця фігура, у свою чергу, дорівнює сумі квадратів зі сторонами і :

На тому самому кресленні можна побачити й інший доказ. Квадрат гіпотенузи більше, ніж маленький квадрат у центрі 2 на ті ж чотири трикутники, або на два прямокутники:

Це нас знову призводить до тієї ж зафарбованої фігури, що дорівнює сумі квадратів катетів.

У Китаї теорема Піфагора називалася правилом "гоу-гу": терміни "гоу" (вихідно "гак") і "гу" ("ребро", "зв'язка") позначали горизонтальний (зазвичай менший) і вертикальний (зазвичай більший) катети. У класичному китайському трактаті «Математика в дев'яти книгах» (II ст. До н. Е..) Остання книга називається «Гоу-гу» і присвячена завданням, які вирішуються за допомогою теореми Піфагора. Ось приклад такого завдання.

Є водоймище зі стороною в 1 чжан (10 чи). У центрі його зростає очерет, який виступає над водою на 1 ч. Якщо потягнути очерет до берега, він якраз торкнеться його. Постає питання: яка глибина води і яка довжина очерету?

У самому трактаті «Математика в дев'яти книгах» рішення не дається, наводиться тільки правило, за яким можна обчислити відповідь, причому в загальному вигляді: «Половину сторони водойми помнож сам на себе, надводну частину в 1 чи помнож саме на себе, відніміть це з Перший, залишок розділи на подвоєну надводну частину очерету, отримаєш глибину води. Додай кількість чи надводної частини, отримаєш довжину очерету». Тобто, в позначеннях алгебри, якщо сторона водойми дорівнює 2 (10 чи), а надводна частина(1 чи), то глибина водойми дорівнює ( 2 – 2 ) / 2, а довжина очерету ((( 2 – 2 ) / 2) + ).

Рішення

Нехай глибина водоймища. Тоді довжина очерету чи. По теоремі Піфагора квадрат цієї довжини дорівнює сумі квадратів глибини водойми та відстані від центру до берега, тобто. у відповідності з відповіддю, даним у трактаті «Математика в дев'яти книгах». При підстановці конкретних чисел ( = 5, = 1) отримуємо = (25 - 1) / 2 = 12 (чи), а довжина очерету, відповідно, + = 13 (чи).

Доказ теореми Піфагора наводиться у книзі «Вінець астрономічного вчення» індійського математика XII ст. Бхаскар. Власне, весь доказ складається з креслення, схожого на вищенаведену китайську. Як пояснення фігурує лише слово «Дивися!». В Індії, на відміну від Греції, головним у математичному доказі була наочна переконливість, а не логічна суворість.

Той же Бхаскара наводить і ряд завдань застосування теореми Піфагора, схожих на завдання «Математики в дев'яти книгах». Серед них і завдання про водоймище – в індійському варіанті в ній замість очерету фігурує лотос.

Цілком ймовірно, що в Греції теорему Піфагора вперше довів сам Піфагор або хтось із піфагорійців.

Особливістю грецької математики проти математикою країн Сходу було прагнення суворих доказів. Першому грецькому математику Фалесу наступна традиція приписує доказ таких фактів, як рівність півколів, рівність вертикальних кутів, рівність кутів на основі рівнобедреного трикутника. Якщо ці відомості вірні, то головне новаторство Фалеса полягало в самій ідеї математичного доказу тверджень, загалом очевидних, тобто у відкриттілогічного зв'язку між різними математичними фактами На цьому фоні теорема Піфагора виділяється якраз своєю неочевидністю, і той, хто її довів, продемонстрував цінність нового математичного підходу, що дозволяє доводити нові результати.

Невідомо, як уперше було доведено теорему Піфагора. Розглянемо доказ, наведений у «Початках» Евкліда. українські школярі минулих часів, які вивчали геометрію по Евкліду, жартома називали цей доказ «піфагорові штани».

Ідея доказу така. Квадрат на лівому катете – рівновеликий подвоєному трикутнику, тому що у них загальна основа і загальна висота. Трикутник дорівнює трикутнику по обидва боки і кут між ними: , рівно , (фактично, трикутник при повороті навколо вершини на 90° перейде в трикутник ). Трикутник рівновеликий половині прямокутника, тому що у них загальна основа і загальна висота = . Таким чином, квадрат рівновеликий прямокутнику. Так само доводиться, що квадрат правому катете – – рівновеликий прямокутнику . Отже, обидва квадрати на катетах, разом узяті, рівновеликі квадрату на гіпотенузі.

---