Теорема Пуанкаре-Перельмана
Нинішнього року в математиці дві круглі та пов'язані між собою дати -100 років гіпотезі Пуанкаре та 10 років доказу Перельмана. Моя розповідь присвячена цим двом дат. Тим більше, і прем'єр-міністр вважає пріоритетним розвиток математики.
Частина перша. У топологічному морі.
Відштовхнемося від твердого берега здорового глузду і вирушимо в океан топології.
А чому потрібно відійти від здорового глузду? А що робити з ним у топологічному океані? Подивіться самі. Що спільного з погляду здорового глузду у закритого коморного замку та водопровідної труби? А з погляду топології вони невиразні. Говорячи топологічно, – гомеоморфні. Це два тори. Тобто дірка посередині залишиться. І чайник, закритий кришкою, із футбольним м'ячем теж невиразні. Це дві сфери. Втім самі топологи вважають, що все просто. Сфера однозв'язкова. Накинувши нитку на поверхню сфери (математик скаже: - провівши криву) шляхом топологічних перетворень можна перетворити (зв'язати) в одну точку. Але з тором це не вийде.
Виходить, що якщо поверхня однозв'язкова, то її можна перетворити на сферу. Але це у звичному тривимірному світі. А великий математик Анрі Пуанкаре задумався про те, а як це буде в чотиривимірному світі? І припустив, що так само . Тобто кожна однозв'язна тривимірна поверхня геоморфна (перетворювана) на тривимірну сферу. Це і є теорема Пуанкаре у моєму викладі. Як виглядає тривимірна сфера, яка є поверхнею чотиривимірної кулі? Я не знаю, як виглядає чотиривимірна куля! І гадаю, що ніхто не знає. Проте математиків, як і художників, дуже приваблює краса. А з погляду математиків, теорема Пуанкаре виглядає надзвичайно красиво. Елегантно та неприступно.
ПотімВільям Терстон висунув теорію, яка описувала всі можливі тривимірні різноманітності (і чотиривимірне неподобство Пуанкаре). Теорема Пуанкаре стала окремим випадком теорії Терстона. Завдання було поставлене, але рішення ніяк не давалося. Теорема Пуанкаре зводила математиків як досвідчена кокетка. Вона насилу доводилася і для п'яти, і для семи, і для шести вимірів. Але в первісному варіанті – для тривимірної сфери, найголовніше, не здавалася.
Давайте відпочинемо від топологічних міркувань. Зустрілися якось американець, китаєць і українець. Це не початок анекдоту. Це продовження історії про теорему Пуанкаре – Перельмана. Американцем був Річард Гамільтон. Бідолаха не слухав нашого великого американознавця – Михайла Задорнова. І тому не був схожим на тупого, жирного, жадібного американця. По спортивному підтягнутий, поціновувач жінок і гумору. Начальства не боїться.
ІГригорій Перельман. На їхньому тлі виглядає людиною "не від цього світу". У потертому піджачку з довгими, нестриженими нігтями. А зустрілися вони, йдучи наввипередки до вирішення теореми Пуанкаре. Чому не вирішив завдання Річард Гамільтон? Ну це зрозуміло. Це вимагало від нього повної напруги сил. Американець не схотів перенапружуватися. Втім, ніхто ніколи не заперечував, що він зіграв величезну роль у доказі теореми Пуанкаре. І премії за це він отримував. А от із китайцем складніше. Яу йшов до перемоги завзято і наполегливо. У нього не виходить? Знайдемо талановитого учня. Не впораємося. Підключимо ще одного. Благо в мільярдному Китаї Яу може вибирати найкращих із найкращих. Хто відмовиться жити і працювати в Америці та користуватися пошаною на Батьківщині? Для вирішення завдання, поставленого Пуанкарі, потрібні потоки Річі? Хто найкращий у цій справі? Річард Гамільтон? Зачаруємо! Звозимо до Китаю,порівняємо його з Мао. При цьому Яу був готовий на все, аби частина пріоритету була за Китаєм. У 2006 підтримуючи пріоритет своїх учнів перед Перельманом, він перегнув ціпок. Але поставив на кін свою репутацію. І програв. Але чому!? Щоб висвітлити просте у своїй геніальності рішення, завдяки якому Григорій Перельман і виграв у цієї китайсько-американської команди, необхідно повернутися в топологію.
Візьмемо звичайний невеликий чайник для заварювання. І будемо перетворювати його на сферу. Але ускладнимо завдання. При перетворенні він одночасно змінюватиме відбивну здатність своєї поверхні. Припустимо, що в результаті вторгнення в топологічні рівняння рівнянь з оптики у носика чайника виникла сингулярність. Тобто, кажучи неформальною мовою, носик чайника став нескінченно більшим. Як це виглядає? Не уявляємо. Маленький чайник, але носик у нього більше не тільки Сонця, але і всього видимого Всесвіту. Головне, що з таким чайником не можна проводити операції. Мається на увазі не те, що якщо ми заварили чай на Землі, то пити його нам доведеться біля найдальшої чорної діри Всесвіту. Це означає, що збільшити, і зменшити нескінченність складно. Відповідно, продовжити перетворення чайника на правильну сферу теж не вийде.
А при перетвореннях, які були потрібні для доказу теореми Пуанкаре, сингулярності вилазили постійно. Команда Яу знову і знову шукала нові варіанти потоків Річі, щоб оминути проблему. Як бути, якщо у чайника дуже великий носик? Ні гостей запросити, ні теорему довести. «Відрізати!» запропонував собі Перельман. І створив новий вид потоків Річі. Потоки Річі із хірургією. Швидко казка дається взнаки, і нешвидко справа робиться. Навіть перевірка правильності доказу Перельмана зайняла математикикілька років. Оскільки Перельман довів і теорію Тестона, окремим випадком якої є теорема Пуанкаре.
Застосування математичних досягнень Г. Перельмана у фізиці.
Виникає питання: «А чи важливі ці мало уявні топологічні досягнення?»
Застосувань у докази теореми Пуанкаре-Перельмана з використанням потоків Річі з хірургією, як окремого випадку теорії Терстона, звичайно, набагато більше, ніж видається мені. Але все-таки я зважуся припустити три такі застосування.
1. З погляду розуміння космосу.
«…стандартна модель призводить до первинної особливості – Великого вибуху. Цей висновок був названий Джоном Віллером «найбільшою кризою фізики».Іван Пригожин. Первинні незворотні процеси. Втім, ця криза складається з безлічі незалежних криз, кожна з яких перешкоджає побудові несуперечливої картини виникнення видимого Всесвіту з точки Великого вибуху. Однією з найважливіших проблем була невідповідність математичних моделей розширення після Великого вибуху і Всесвіту. Зрозуміло, що розширення з такою швидкістю такої маси речовини за такий невеликий час, яке пов'язане з гіпотезою Великого вибуху, не може відбуватися без певних нерівномірностей, які з часом будуть тільки наростати. Проте астрономи не бачать таких нерівномірностей. Видимий всесвіт, починаючи з розмірності 100 Мпс, однорідний за щільністю речовини. І ізотропна: тобто в усіх напрямках має однакові властивості. Проте застосування математичного апарату створеного Г.Перельманом – «потоки Річі з хірургією» дозволяє математично обґрунтувати цей процес.
2. «Теорія всього» у її «суперструнному» виконанні.
Sol, якосьзаперечуючи мені, заявив, що виступ проти «Теорії всього » антинауковий. Тим більше цікаво, що без теореми Пуанкаре-Перельмана теорія суперструн повисає в повітрі. Справа в тому, що дана теорія, як і її розвиток "М-теорія", припускають наявність підпросторів. Без повного доказу, зробленого Р. Перельманом, було топологічно неясно, як відбувається перехід із нашого світу на ці численні виміри ( у різних випадках передбачається 10 чи 11 вимірів).
3. Проблема «Кота Шредінгера»
Відповідно до положень квантової механіки, ми живемо в імовірнісному світі. Незважаючи на запеклі суперечки, родоначальниками якого були Альберт Ейнштейн і Нільс Бор, проблема досі стоїть на порядку денному. Найбільш образно її висловивЕ. Шредінгер у своєму найвідомішому квантовому об'єкті «Кіт Шредінгера ». Окрім іншого, незрозуміло, як цей процес відбувається просторово, тобто з погляду топології. За реалізації квантових станів у макросвіті відбувається взаємодія величезної кількості систем, з'єднаних між собою без розривів геометричної цілісності. Тут дуже важливі «дрібниці» топологічного процесу, які не можна пояснити без розуміння теореми Пуанкаре-Перельмана. Необхідно ще відзначити, що особливо важливі саме рішення, знайдені Г. Перельманом. Навіть якщо хтось і знайде більш просте та витончене рішення теореми, все одно для фізики буде важливим рішення з використанням потоків Річі з хірургією.
ШановнийДеніс, дякую за увагу до сайту.
Незважаючи на те, що на даний момент реєстрація на сайтіЛабораторія космічних досліджень проходить тільки через адмін сайту, залишається можливість черезКонтакт.
Шановна Олено Бабенку!