Tiphareth кінцеві вільні групи
Боротьба йде за те, щоб поширити ці результати на кінцеве поповнення фундаментальної групи $\pi_1(X)$ риманової поверхні. Перший результат виходить як узагальнення відомої теореми про те, що підгрупа нескінченного індексу $\pi_1(X)$ вільна. Виявляється, що для кінцевого поповнення ця теорема узагальнюється так - підгрупа надприродно (supernatural) нескінченного індексу в поповненні $\pi_1(X)$ вільна. Надприродний індекс набуває значення у множині виду $\prod_p p^$, де $p$ пробігає всі прості числа, а $\alpha_p$ натуральне число або нескінченність. Для підгруп прокінцевих груп цей індекс добре визначений. Підгрупа поповнення $\pi_1(X)$ проективна, якщо надприродний індекс нескінченний у кожному простому числі.
Друга ж теорема така - нормальна підгрупа поповнення $\pi_1(X)$ (вона, здається, а постериорі буде нескінченного індексу) ізоморфна нормальної підгрупі проконечної вільної.
Це потрібно для вивчення конгруенц-проблеми, яка має місце для будь-якої алгебраїчної групи G(O) над кільцем цілих алгебраїчних чисел O. Конгруенц-підгрупа такої групи є підгрупа виду $G(1+I) $, де $I$ це ідеал в $O$. Питання таке - чи будь-яка підгрупа кінцевого індексу може бути отримана як конгруенц-підгрупа. Клейн (1896) довів, що це неправильно для $SL(2,Z)$, a Серр, Басс, Мілнор та інші люди (у 1960-х) - що це вірно для груп рангу >1. Для $SL(2,Z)$ та інших груп рангу 1, можна поставити питання про ядро відображення з кінцевого поповнення в поповнення по конгруенц-підгрупах (конгруенц-проблема вирішується позитивно тоді і тільки тоді, коли ця група нульова). Мельников довів, що для $SL(2,Z)$ ця група- вільна кінцева з числом утворюючих, а Залеський узагальнив це деякі інші кільця.
Дуже цікаво, так.
У Глазго взагалі алгебра розцвіла, а геометрія, за сукупністю причин, здохла. Я тут ні до чого зовсім (навпаки, лобіював, щоб прийняли постдоку з геометрії, а мене не послухали і взяли по алгебрі).
| ratamaque2005-02-23 10:08 (link) | |
| На жаль, слабкий у математиці. Хотів би дізнатися як з теорією суперструн? Або все зав'яло? |
| tiphareth2005-02-23 10:21 (link) | |
| Добре! |
| ratamaque2005-02-23 10:55 (link) | |
| Тобто. всепояснення теорія скоро таки з'явиться? І вимірювань не 4, а 10? |
| tiphareth2005-02-23 11:03 (link) | |
| > Тобто. всеосяжна теорія незабаром > з'явиться? |
Їх декілька. Найпопулярніша називається М-теорія, див.
>І вимірів не 4, а 10?
Їх декілька. У різних наближеннях вимірювань різне число.
| ratamaque2005-02-24 05:00 (link) | |
| Спасибі за інформацію! |
| (Reply from suspended user) |
| Re: Дурне питання:tiphareth2005-02-23 10:22 (link) | |
| Та ні, звісно. Але речі настільки елементарні, що їх у школі можна (і потрібно) проходити. |
| (Reply from suspended user) |
| Re: Дурне питання:tiphareth2005-02-23 11:08 (link) | |
| Ось наші листочки (для 10-класників) Якщо їх вирішувати, там ближче до кінця розповідається про вільні групи і підгрупи. Про кінцеві я не включив у програму (якоїсь миті вони були, я їх викинув), але з цим просто розібратися. |
| Re: Дурне питання:(Anonymous)2005-02-23 10:22 (link) | |
| udoi молока пов'язуються. |
| (Reply from suspended user) |
| ignat2005-02-23 10:29 (link) | |
| Ба, знайомі всі обличчя! |
Олег Володимирович Мельников – наш мінський світило. А Паша Залеський – його учень.
Supernatural numbers перекладаються як наднатуральні числа.
| tiphareth2005-02-23 10:58 (link) | |
| Симпатичний, так - я з ним, на сором мій, так і не познайомився (все збираюся). |
> перекладаються як > наднатуральні числа
Угу. Надприродні просто красивіше звучить (а англійською supernatural саме це і означає).
>Олег Володимирович Мельников
Я спросоння вирішив, що йдеться про Івана Мельникова з мех-мата, який з дня на день очолить КПРФ (і про якого всі розповідають, що він дебіл). Здивувався, так. Потім подивився в Mathscinet і виявив, що розповідають таки правильне.
| bbixob2005-02-24 15:07 (link) | |
| A для таких груп (фундаментальних груп алгебраїчних різноманіттів) подргуппы кінцевого індексу визначні? для вільних це ніколи неправильно (кажуть, випливає з результатів Села) |
>нормальнапідгрупа >поповнення $\pi_1(X)$ (вона, здається, а постериори >буде нескінченного індексу)
не дуже зрозуміло---якщо Х=С*, то $\пі_1(Х)=З$, і там є нормальні підгрупи звичайно індексу