Універсум фон Неймана
У теорії множин і суміжних з нею областях математики підуніверсумом фон Неймана(позначаєтьсяV), абоієрархією множин по фон Нейману, розуміється клас, утворений спадковими фундованими множинами . Така сукупність, що формалізується теорією множин Цермело-Френкеля (ZFC) часто використовується як інтерпретація або обґрунтування ZFC-аксіом.
Рангфундованого множини індуктивно визначається як найменше порядкове число, що перевищує ранг будь-якого елемента в цій множині. [1] Зокрема, ранг порожньої множини дорівнює нулю, а ранг будь-якого порядкового числа дорівнює йому самому. Множини, що входять до класуV, через поділ на ранги, утворюють трансфінітну ієрархію, яка також називаєтьсякумулятивною ієрархією множин.
Зміст
Існування і єдиність трансфінітно рекурсивного визначення множин були доведені фон Нейманом в 1928 для випадку теорії множин Цермело-Френкеля [4] , а також його власної теорії множин (яка згодом стала основою NBG-теорії). [5] Однак у жодній із цих статей не використовував свій трансфінітно рекурсивний метод для побудови універсальної сукупності всіх множин. Описи фоннеймановского універсуму, зроблені Бернайсом [6] і Мендельсоном [7] приписують фон Нейману метод побудови з урахуванням трансфінітної індукції, але з застосування до завдання побудови універсуму звичайних множин.
Формула ⋃ α V α V_> часто розглядається як теорема, а не визначення. [6] [7] За твердженням Ройтман [12] (без посилань на будь-які джерела), еквівалентність аксіоми регулярності та рівності кумулятивної ієрархії універсуму ZF-множин була вперше продемонстрована фон Нейманом.
Еквівалентне визначеннявикористовує позначення виду
V не є «множиною всіх множин» з двох причин. По-перше, V не є безліччю; незважаючи на те, що кожна із сукупностей V α > є безліч, їх об'єднанняV- власний клас. По-друге, тільки фундовані множини входять у класVяк елементи. Відповідно до аксіоми фундування (або регулярності) кожна множина є фундованим і, отже, входить до класуV. Таким чином, у теорії ZFC кожна множина є елементом класуV. Однак в інших аксіоматичних системах аксіома фундування може бути замінена своїм сильним запереченням (наприклад, аксіомою антифундування Акзеля), або просто бути відсутнім. Подібні теорії нефундованих множин зазвичай не застосовуються на практиці, але можуть бути об'єктом дослідження.
Третє заперечення проти інтерпретаціїVяк «множини всіх множин» полягає в тому, що не кожна множина є «чистою», тобто може бути виражена через порожню множину, булеан і об'єднання. У 1908 році Цермело запропонував додати в теорію безлічі урелементів, і в 1930 побудував на їх основі трансфінітну рекурсивну ієрархію. [3] Подібні урелементи широко використовуються в теорії моделей - зокрема, моделях Френкеля-Мостовського. [13]
Існують два основні підходи (без урахування різних варіантів та проміжних градацій) до розуміння взаємозв'язку між універсумом фон НейманаVта теорією ZFC. У загальних рисах: формалісти схильні сприйматиVяк певний наслідок ZFC-аксіом (наприклад, в теорії ZFC можна довести, що кожна множина є елементомV), тоді як реалісти найчастіше бачать в універсумі фон Неймана об'єкт, безпосередньо доступний інтуїції,а в аксіомах ZFC — твердження, істинність яких у контекстіVможна підтвердити за допомогою прямих доказів, виражених природною мовою. Одна з можливих проміжних точок зору полягає в тому, що уявний образ фоннейманівської ієрархії є обґрунтуванням ZFC-аксіом (тим самим надаючи їм об'єктивність), хоча і не обов'язково відповідає будь-яким реально існуючим об'єктам.