Урок - Числові послідовності
Короткий опис документа:
Тригонометрія, як окремий розділ, вивчається у 10 класі, поряд з рештою. Вона містить у собі велику кількість тем, які вивчатимуть нові формули, без яких неможливо уявити собі рішення тих чи інших практичних прикладів.
Деякі тригонометричні вирази стануть більш зрозумілими та простими у разі їхнього грамотного спрощення. Для цього необхідно зрозуміти, коли та яку формулу необхідно застосувати. Щоб з'явилися такі навички, потрібно розібрати теорію.
Практично будь-яку послідовність можна задати словесно, при виведенні правила завдання будуть використані виключно слова. При цьому формули не будуть використані. Наводиться приклад такої послідовності, яка включає упорядковані від меншого до більшого простих чисел.
Є ще один досить поширений вид завдання певної послідовності – аналітичний. При цьому записується формула енного члена, за допомогою якого можна знайти будь-який інший член послідовності.
Наводяться два приклади. Другий випадок з них є деякою послідовністю, де кожен член дорівнює константі С. Як бачимо, елементи послідовності можу бути рівними один одному.
У цьому способи, з допомогою яких можна задати послідовності, не закінчуються. Є ще один метод, який називається рекурентним. На відміну від аналітичного методу завдання послідовності, в даному випадку, для того, щоб знайти певний елемент, необхідно знати про всі попередні.
Класичним прикладом рекурсивної послідовності є арифметична. Вона вивчалася у молодших класах, поруч із геометричною, яказадається аналогічним чином. Неможливо знайти наступний елемент, не знаючи значення попередніх.
Кожна послідовність може бути розглянута з погляду монотонності та обмеженості. Якщо вивчати деяку послідовність, потрібно врахувати, що може бути обмежена або зверху, або знизу. Якщо деякий елемент послідовності більше, без винятків, решти, то така послідовність однозначно буде називатися обмеженою зверху. І навпаки, якщо існує деякий член послідовності, при якому всі інші значення більше за нього, то така послідовність буде називатися обмеженою знизу. Якщо ж послідовно є обмеженою і зверху, і знизу, вона називається обмеженою послідовністю.
Наводиться приклад і обмеженої послідовності, яка має найбільше та найменше значення. Це і графічно на координатної площині шляхом побудови графіка.
У якому разі послідовність буде зростаючою? Якщо кожен наступний член деякої послідовності буде більший за попередню, то вона буде вважатися зростаючою, і навпаки, якщо кожен наступний елемент менший за попередню, то вона називатиметься спадною. Зменшуюча або зростаюча послідовність називається монотонною. Щоб цього побачити, найкраще продемонструвати школярам геометрично.
Послідовність може бути ні зростаючою, ні спадною. Для ясності наводиться приклад.
Визначення 1. Функцію виду у = f(x), xN (ігрок дорівнює еф від них, ікс належить множині натуральних чисел) називають функцією натурального аргументу або числовою послідовністю і позначають у = f(n) (ігрок дорівнює еф від ен) або у1 , у2, у3, …, уn. ((Ігрек перший, Ігрекдругий, ігрек третій і так далі ігрек енний і так далі)
Іноді для позначення послідовності використовується запис (уn) (ігрок енний).
Перший спосіб завдання словесний послідовності, коли правило завдання послідовності описано словами, без вказівки якихось формул.
Наприклад, (послідовність простих чисел):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . (два, три, п'ять, сім, одинадцять, …)
Другий спосіб завдання послідовності є аналітичним, тобто вказують формулу її n-го члена (енного члена).
1) уn = n 3 .(Ігрек енний дорівнює ен в третьому ступені) Це - аналітичне завдання послідовності 1, 8, 27, 64, . ,n 3 , .
Неважко знайти член послідовності з відповідним номером, для цього достатньо вказати конкретне значення n(ен). Якщо, наприклад, n = 9, то у 9 = 9 3 (ігрок дев'ятий дорівнює дев'ять у кубі) тобто. у9 = 729 (гравець дев'ятий дорівнює 729). Навпаки, якщо взято певний член послідовності, можна зазначити його номер. Наприклад, якщо уn = 1331 (ігрек енний дорівнює 1331), то з рівняння n 3 = 1331 (еп в третьому ступені дорівнює 1331) знаходимо, що
n =11. Це означає, що 11-й (одинадцятий) член послідовності дорівнює 1331.
2) уn =С. (Ігрек енний дорівнює це). Задано послідовність виду З, З, З, . З.
Вона називається постійною (або стаціонарною).
Третій спосіб завдання послідовності рекурентний: задають правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності через попередній, його відмінність від аналітичного в тому, щоб знайти n-й (енний) член послідовності треба знати всі попередні.
1) арифметична прогресія - це числова послідовність (аn), задана рекурентно співвідношеннями: a1 = а, аn + 1 = аn + d (a і d - задані числа, d -різницю арифметичної прогресії).
(b і q - задані числа, b0, q0; q - знаменник геометричної прогресії). Ці прогресії ви вивчали у середній школі.
2. Властивості числових послідовностей
Числову послідовність можна розглядати як окремий випадок числової функції, отже вона має деякі властивості функцій, наприклад, обмеженістю і монотонністю.
Визначення 2. Послідовність (уn) (ігрок енний) називають обмеженою зверху, якщо всі її члени не більше деякого числа.
Тобто, послідовність (уn) (ігрек енний) обмежена зверху, якщо існує число М (ем велике) таке, що для будь-якого n виконується нерівність уnМ. (ігрок енний менше або дорівнює ем велике) Число М називають верхньою межею послідовності.
Наприклад, послідовність -1, -8, -27, -64, . , -n 3 . обмежена зверху. Як верхню межу можна взяти число М= –1 (ем велике дорівнює мінус одиниця) або будь-яке число, яке більше, ніж –1, наприклад 0.
Визначення 3. Послідовність (уn) (ігрок енний) називають обмеженою знизу, якщо всі її члени не менше деякого числа.
Тобто, послідовність (уn) (ігрек енний)обмежена знизу, якщо існує число т (ем мале) таке, що для будь-якого n(ен) виконується нерівність уnт (ігрек енний більше або дорівнює ем мале). Число т (ем мале) називають нижньою межею послідовності.
послідовність 0, 1, 2, 3, 4, . (n-1), . обмежена знизу. Як нижня межа можна взяти число т=0 або будь-яке число менше 0.
Якщо послідовність обмежена і згори, і знизу, її називають обмеженою.
-1, , , , . , , . Ця послідовність обмежена і згори, і знизу. Як верхню межу можна взяти число М=0,як нижня межа – число m= –1.
Якщо побудувати графік послідовності уn = – (ігрок енний рівний мінус одиниця поділена на ен у квадраті), тобто. графік функції y = –, xN, (гравець рівний мінус одиниця, поділена на ікс у квадраті, де ікс належить множині натуральних чисел ен), у прямокутній системі координат, то виявиться, що весь він розташований у смузі між деякими горизонтальними прямими, наприклад, у = 0, і у = -1 (рис. 1), а в цьому і полягає, геометрична ознака обмеженості функції.
Якщо члени послідовності відзначити точками на числової прямої, буде наочно видно властивість обмеженості послідовності. Обмеженість послідовності означає, що це члени послідовності (точніше, відповідні їм точки прямої) належать деякому відрізку. Так, зобразивши члени послідовності уn = точками на числовій прямій, помічаємо, що вони належать відрізку [–1; 0] як показано малюнку 2.
Визначення 4. Послідовність (уn) (ігрок енний) називають зростаючою, якщо кожен її член більший за попередній:
Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.
Наведемо ще кілька прикладів.
1) -1, 2, -3, 4, . , (-1) n · n, . Ця послідовність не є ні зростаючою, ні спадною (немонотонна послідовність).
2) уn = 3 n (ігрек енний дорівнює три в ступені ен). Йдеться про послідовність 3, 9, 27, 81, 243, . Це зростаюча послідовність.
3) yn = () n ( Ігр енний дорівнює одній п'ятій в ступеню ен). Йдеться про послідовність , , , , .... Це — спадна послідовність.