Урок з алгебри в 7-му класі на тему Розв’язання рівнянь із застосуванням прийомів розкладання багаточлена
Розділи: Математика
Діти, досить довго опановуючи прийомами розкладання многочлена на множники, підійшли до моменту, коли необхідно систематизувати і узагальнити вивчені способи, спробувати зробити нові відкриття і найголовніше: знайти цікаве застосування різноманітних прийомів розкладання на множники до розв'язання часом однакових за змістом рівнянь.
1. Що означає розкласти багаточлен на множники?
2. У якому випадку добуток множників дорівнює 0?
3. Ступінь, якого числа дорівнює нулю? 1??
4. Які прийоми розкладання на множники вам відомі?(Винесення загального множника за дужки, угруповання доданків з подальшим винесенням загального множника, за допомогою формул скороченого множення).
5. Чому рівні квадрат суми, різниці двох доданків?
6. Чому дорівнює різниця квадратів двох доданків?
На дошці записані рівняння:
За якою ознакою можна розбити ці рівняння групи? (Рівняння, що містять багаточлен другого ступеня. Рівняння, що містять багаточлен вище другого ступеня. Рівняння, що містить многочлен другого ступеня, коефіцієнти якого періодичні дроби).
Нам належить вирішити ці рівняння, підбираючи несхожі способи розв'язання, незважаючи часом на схожість рівнянь.
Пропоную учням вирішити рівняння двома способами. Викликаю до дошки двох учнів.
Один учень вирішує рівняння розбиттям одночлена 6х у сумі двох одночленів, а інший – застосуванням формули скороченого множення – квадрата суми:
Питання: Який спосіб виявився раціональнішим?(Звичайно другий).Як його можна назвати?
(Виділення повного квадрата суми)
Обговорюємо рішення рівняння.
Чи можна вирішити рівняння, розбиваючи один із доданків на два?
(так,)
А виділення повного квадрата суми?
(важко, оскільки число 3 не є квадратом ніякого раціонального числа)
І все-таки спробуємо виділити повний квадрат суми: доповніть суму перших двох доданків до квадрата суми.
Як можна розкласти багаточлен у лівій частині рівняння на множники?(За формулою різниці квадратів).
Зрозумійте, чи можна міркуючи аналогічно розв'язати рівняння?
(Незручне у цьому випадку число 5).
І все-таки, спробуємо суворо дотримуватися формули квадрата суми виділення повного квадрата:
Зверніть увагу на коефіцієнти рівняння. Яку закономірність можна побачити?
(Одночасно читаються зліва направо)
Що відбувається з показниками змінної x?
(зменшуються на один)
Висловіть припущення для багаточлена у лівій частині рівняння.
(Многочлен х 4+4х3+6х2+4х+1 є (х+1)4). Обґрунтуйте це.
(Побудуємо трикутник Паскаля
14641 4-й рядок містить коефіцієнти зведення в 4-й ступінь двочлена (х+1)
Отже, який вид набуде рівняння? Вирішіть його усно.
Розв'яжіть усно рівняння
Якими числами є коефіцієнти рівняння
(Періодичними десятковими дробами)
Зверніть періодичні дроби у звичайні і розв'яжіть рівняння, що вийшло.
(Правило обігу періодичного десяткового дробу у звичайний: щоб періодичний десятковий дріб звернути у звичайний, треба від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду, і зробити цейрізницю чисельником, а в знаменнику написати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді та після дев'ятки дописати стільки нулів, скільки цифр між комою та першим періодом)
(Підберіть раціональний спосіб розв'язання та знайдіть корені рівняння, х=1 або)
Знову звернемося до рівняння. Розв'яжемо це рівняння методом невизначених коефіцієнтів:
Порівняйте значення знайденого коріння зі значеннями зміннихbіd.(Вони протилежні)
Знайдене коріння підтверджує думку про те, що незалежно від способу вирішення коріння не змінюється.
Чим рівняння схоже на попереднє?
(Коефіцієнт при х 2 дорівнює 1)
Спробуємо вирішити це рівняння усно, не застосовуючи жодного з розглянутих прийомів, але
беручи до уваги деякі міркування у попередньому випадку:
Запишіть розкладання багаточлена у вигляді добутку двочленів:
Тоді, скажіть чому, дорівнюватимуть значення виразів і за аналогією з попередніми міркуваннями?
(Легко здогадатися, що чи навпаки).
Зрозумійте, чому дорівнюють коріння рівняння?
Усно розв'яжіть рівняння:
1. З яким новим способом розв'язання квадратних рівнянь ви познайомилися?
(Виділення повного квадрата суми чи різниці)
2. Як ви вважаєте, чому цей спосіб не завжди зручний?
(Наприклад, у рівнянні 3х2-2х-1=0 3х2 не є квадратом раціонального виразу)
3. Яке відкриття ви зробили, застосовуючи метод невизначених коефіцієнтів для
розв'язання квадратних рівнянь, якщо коефіцієнт дорівнює 1?
(Щоб знайти коріння, треба спочатку знайти два таких числа в і с, щоб їх сума дорівнювала другому коефіцієнту, а твір – третьому доданку. А коріння дорівнюватимечислам, протилежним числам.
У 8 класі ви познайомитеся із ще одним способом розв'язання квадратних рівнянь – за формулами. Дізнаєтеся, хто такий Франсуа Вієт і яке відношення він має до нашого відкриття.