Він, і
Навряд чи є необхідність багато говорити про важливість спеціальних функцій для будь-якого вченого та інженера, який має справу з практичним застосуванням диференціальних рівнянь. Вирішення різних завдань, що відносяться до теплопровідності і динаміки, електромагнітних коливань і аеромеханіки, квантової механіки і теорії потенціалу, призводить до спеціальних функцій. Найчастіше вони виникають під час вирішення диференціальних рівнянь у приватних похідних шляхом поділу змінних.
Різноманітність завдань, що призводять до спеціальних функцій, викликало швидке зростання числа функцій, що застосовуються у додатках. Вже давно з'явилися численні посібники з теорії спеціальних функцій. До таких посібників, порівняно повно які охоплюють стан науки період складання, належить відомий «Курс сучасного аналізу» Уиттекера і Ватсона (Физматгиз, 1961?1962). Ряд книг присвячений теорії окремих класів спеціальних функцій (функцій Бесселя, Лежандра, Матьє і т.д.). Однак обсяг цих книг робить їх не надто зручними для використання (наприклад, трактат Ватсона за функціями Бесселя містить майже 800 сторінок). Тому поряд з монографіями стали з'являтися довідники, що містять формули та найкоротші пояснення (одним із кращих довідників такого типу є книга: І. С. Градштейн та І. М. Рижик, Таблиці інтегралів, сум, рядів та творів, вид. 4, Фізматгіз , 1963). Але такими довідниками можна користуватися лише володіючи вже теорією відповідного класу функцій.
Пропонована до уваги читача книга займає як би проміжне положення між цими двома типами видань. Вона містить короткі, але чітко написані висновки основних якостей досліджуваних функцій, якими людина, яка володіє теорією, може її вивчити. Але, крім того, до неївключені численні списки формул, що стосуються найважливіших спеціальних функцій. Нарешті, кожен розділ книги супроводжується списком використаної літератури (поміщеним наприкінці книги), що дозволяє читачеві знайти додаткову інформацію про функції, що вивчаються.
Ця книга була задумана (у дещо іншому та більш широкому вигляді) професором Каліфорнійського технологічного інституту Гаррі Бейтменом, одним з найбільших американських фахівців у галузі класичного аналізу та його додатків до аеро- та гідромеханіки, електромагнітної теорії, термодинаміки, геофізики тощо. Протягом двох десятків років він збирав розсіяні за різними монографіями та періодичною літературою відомості про спеціальні функції: їх властивості, інтегральні та інші уявлення, зв'язки між різними класами спеціальних функцій, певні інтеграли, що містять спеціальні функції, і т.д. В результаті цієї роботи було складено гігантську картотеку, що містила майже все, що стосувалося зазначених питань, а також теорії диференціальних рівнянь математичної фізики, інтегральних рівнянь тощо.
Смерть Бейтмена, що відбулася в 1946 році, перервала його роботу над задуманою енциклопедією класичного аналізу. Для обробки зібраного матеріалу було створено штаб на чолі з відомим англійським математиком А. Ердейі, до якого увійшли німецькі вчені В. Магнус та Ф. Оберхеттінгер та італійський математик Ф. Трикомі.
Ці вчені разом із керованою ними групою молодих математиків створили, використовуючи матеріали Бейтмена, унікальну працю з теорії спеціальних функцій та інтегральних перетворень. Він складається із трьох томів під загальною назвою «Вищі трансцендентні функції» та двох томів «Інтегральних перетворень». Перші три томи охоплюють усі важливі класи спеціальнихфункцій: гамма- та бета-функції, гіпергеометрична функція та вироджена гіпергеометрична функція, всілякі узагальнення гіпергеометричних функцій (функції Мейєра, Мак-Роберта та ін), функції та багаточлени Лежандра, функції Бесселя, функції параболічного циліндра, неповна гамма-функція синус і косинус, інтеграл ймовірності, всілякі класи ортогональних багаточленів від одного і кількох змінних, гармонійні функції кількох змінних, еліптичні функції та інтеграли, автоморфні функції, функції Ламе та Матьє, дзета-функція Рімана і т.д. До кожного з цих класів функцій дано рекурентні співвідношення, диференціальні рівняння, інтегральні уявлення, асимптотичні формули, різні теореми складання, нерівності тощо.
Як мовилося раніше, до цього тритомнику примикає двотомник «Інтегральні перетворення». Він містить докладні таблиці для перетворення Фур'є (звичайного, а також за синусами і косинусами), Лапласа (прямого і зворотного), Мелліна, Ганкеля, Канторовича Лебедєва, Гільберта, Стілтьєса та численних інших інтегральних перетворень. p align="justify"> Таким чином, п'ять томів довідника охоплюють у своїй сукупності майже весь гігантський матеріал, накопичений в теорії спеціальних функцій та інтегральних перетворень за двохсотрічну історію їх розвитку (до кінця 40-х років). За повнотою охоплення матеріалу та щільності інформації довідник не має собі рівних у світовій літературі.
Безсумнівно, що ця енциклопедія класичного математичного аналізу виявиться корисною широкому колу читачів. Фізики-теоретики та експериментатори, дослідники в галузі прикладного аналізу та рівнянь математичної фізики, інженери, які стикаються з розв'язанням диференціальних рівнянь, користуватимуться цією книгоюпоряд з математиками різних спеціальностей.
Цей випуск містить теорію гіпергеометричної функції та її узагальнень та окремих випадків (зокрема, функцій та багаточленів Лежандра). Крім того, в ньому викладено теорію гамма- та бета-функцій.
Пропонована до уваги читача книга є першою частиною праці, яка може розглядатися як сучасна версія знаменитого «Курсу сучасного аналізу» Уіттекера та Ватсона, точніше, другої частини цього курсу, присвяченої теорії трансцендентних функцій. Бейтмен (який був учнем Уіттекера) задумав свій «Путівник з функцій» у гігантських масштабах. Крім детального викладу властивостей найбільш важливих функцій, праця повинна була містити історію їх виникнення, основні формули, що відносяться до них, і бібліографію, що стосується всіх спеціальних функцій. Ці функції були каталогізовані і розкласифіковані в залежності від способу їх визначення: за допомогою статечних рядів, що виконують функцій, нескінченних творів, послідовного диференціювання, невизначених інтегралів, певних інтегралів, диференціальних рівнянь, різницевих рівнянь, функціональних рівнянь, тригонометричних інтегральних рівнянь. Таблиці інтегральних уявлень спеціальних функцій та таблиці значень для деяких нових функцій мали увійти до цього «Путівника». Нарешті, він мав містити докладні таблиці певних інтегралів від спеціальних функцій та перелік таблиць значень цих функцій.
Реалістична оцінка наших можливостей та відведеного часу призвела до докорінного перегляду планів Бейтмена. Лише сам Бейтмен мав достатню ерудицію для того, щоб охопити теорію всіх функцій. Таким чином, нам довелося обмежитисявикладом (ймовірно, менш докладним, ніж це було задумано Бейтменом) найважливіших властивостей тих спеціальних функцій, які ми розглядали як найважливіші. Зрозуміло, збіднення змісту книги, що відбулося в результаті цього перегляду, дуже сумно. Однак ми дозволяємо собі сподіватися, що воно певною мірою врівноважується досягнутим в результаті скороченням обсягу та більшою прозорістю структури. Ми сподіваємося, що хоча книга, що вийшла, по широті охоплення матеріалу поступається задуманою Бейтменом, але в межах наміченої нами сфери вона виявиться більш зручною для використання.
Ми намагалися включати в цю книгу в основному функції, що зустрічаються у прикладній математиці. Вибір функцій, що включаються, так само як і вибір позначень, робився виходячи з прийнятого в математиці. Наприклад, для вироджених гіпергеометричних функцій є багато позначень. Ми використовували лише два з них, які зазвичай застосовуються в математичних роботах, і коротко вказали на інші позначення; однак ми не стосувалися позначень, що використовуються у квантовій механіці. Ми виключали маловивчені в математиці спеціальні функції навіть у тому випадку, коли їм існують докладні таблиці, чи вони корисні у деяких практичних питаннях. З іншого боку, ми включили деякі спеціальні функції, яких зазвичай не стосуються у працях подібного роду, наприклад, функції, що зустрічаються в теорії чисел, або деякі спеціальні види автоморфних функцій. Розділи, присвячені цим функціям, слід розглядати як пробні, і ми цілком усвідомлюємо, наскільки проблематичним є таке додавання до звичайного сімейства спеціальних функцій.
Здебільшого ми не змогли широко використовувати великі нотатки Бейтмена; нам виявилося легше скласти розділи, що стосуютьсярізних функцій, використовуючи свої знання про ці функції та доповнюючи їх шляхом звичайних пошуків у доступній нам літературі. Однак у деяких випадках нотатки Бейтмена були широко використані. Розділ про функціях виникла завдяки складеному Бейтменом каталогу функцій, і при її складанні ми широко користувалися цим каталогом.
Складність та обсяг виконаної роботи роблять марною надію на те, що нам вдалося повністю уникнути помилок у висновках та друкарських помилок. Той, хто підписався, буде вдячний за всі виправлення, які можуть виявитися дуже корисними у разі, якщо знадобиться друге видання книги.
Насамкінець я хочу висловити подяку від імені всього штабу проекту Каліфорнійському технологічному інституту і особливо декану Є. Ватсону за те, що вони розпочали цю роботу і надавали нам велику підтримку у всіх проблемах, з якими нам довелося стикатися. Я висловлюю також подяку всім моїм колегам, без сприяння яких ця праця не могла б з'явитися у світ.