ВИПУКНІСТЬ

ВИПУКНІСТЬ - термін, що використовується в різних розділах математики і вказує на властивості, що узагальнюють окремі властивості опуклих множин в евклідових просторах Е n . Із терміном «В.» асоціюється застосовність низки прийомів дослідження.

У Е n еквівалентні наступні два основні визначення. Безліч опукло: а) якщо воно є перетин відкритих напівпросторів; б) якщо разом з будь-якими двома точками воно містить відрізок, що з'єднує їх. Обидва визначення Ст переносяться на випадок векторних просторів L.

Визначення б) поширюють на множини в просторах з геодезичними (простори зі зв'язністю; локально компактні метрич. простори, зокрема риманові та фінслерові простори). У цьому роль відрізків грають геодезичні; але якщо дві точки поєднані не єдиною геодезичною чи найкоротшою, то поняття «В.» розгалужується. У ріманової геометрії уживані, зокрема, такі варіанти Ст (див. [1]; [2]): 1) безліч М опукло, якщо кожні дві точки з М з'єднані єдиною найкоротшою і вона лежить в М; 2) безліч М локально опукло, якщо кожна точка з М має опуклу в значенні 1) околиця М; 3) безліч М слабо опукло, якщо кожні дві точки з'єднують хоча б одну найкоротшу, що йде в M; 4) безліч М абсолютно опукло, якщо для кожних двох точок в M лежать всі геодезичні, що їх з'єднують.

У Е n межу (або частину кордону) n-мірного опуклого тіла зв. опуклою гіперповерхнею, при n = 3 – опуклою поверхнею, при n = 2 – опуклою кривою.

Для функції дійсного змінного Ст означає В. її надграфіка (див. опукла функція дійсного змінного). Аналогічно визначають Ст функціоналу f в L (див. опуклий функціонал).

Для опуклих множин у L можна говорити про Ст сімействамножин, вимагаючи, щоб з умови М1, M2 ∈ , 0 ≤ α ≤ 1 слід (1 - α)M1 + αМ2 ∈ . На опуклих сімействах визначають опуклі (і увігнуті) функціонали Ф(М). Випуклість функціоналу визначається вимогою

Термін "В." для однолистих функцій комплексної змінної має особливе значення - властивість відображати одиничний круг у опуклу область (див. опукла функція комплексного змінного).

З узагальнень Ст E n розглядалася R - опуклість компакту М, що означає, що кожна точка, віддалена від М менш ніж на R, має в М єдину найближчу (див. [4], [5]).

Теоретично лінійних диференціальних операторів термін «В.» пов'язують з деякими властивостями груп гомології [6]. Це асоціюється з можливістю торкнутися кордону зсередини області гіперповерхнею, у якої певна кількість основних кривизн позитивно. У теорії функцій багатьох комплексних змінних важливу роль відіграє голоморфна опуклість, пов'язана з неможливістю торкнутися межі області зсередини аналітич. поверхнею [7]. Останнє поняття є окремий випадок так зв. До- опуклості (див. [7], с. 6). У схему K-випуклості вкладаються багато хто з перерахованих понять В.

У опуклому аналізі використовують поняття Н-випуклості, що узагальнює уявність опуклої функції як супремуму сімейства лінійних функцій [8].

Теоретично метрич. просторів опуклість метрики (по Менгеру) визначається як існування для будь-яких точок х ≠ у відмінної від них точки, для якої ρ(х, у) = ρ(х, z) + ρ(z, х) (див. [9 ]). Під d - опуклістю множини М розуміють приналежність М будь-якої такої точки z при х, у ∈ М. Дуже близькі до цього визначення Ст в просторах з упорядкуванням (див., напр., опукла підгрупа).

Майже кожному визначенню Ст відповідає пов'язане з ним поняття локальної Ст.при виділенні класу локально опуклих векторних топологіч. просторів термін «локальна Ст» має особливий сенс, означаючи існування у кожної точки базисної системи опуклих околиць.

Літ.: [1] Громол Д., Клінгенберг Ст, Мейєр Ст, Риманова геометрія в цілому, пров. з ньому., М., 1971; [2] Александров А. Д., Залгаллер Ст А., Двовимірні різноманіття обмеженої кривизни [Тр. Матем. ін-та АН СРСР, т. 63], М., 1962; [3] Xадвигер Р., Лекції про обсяг, площу поверхні та ізопериметрії, пров. з ньому., М., 1966; [4] Federer Н., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1959, v. 93 №3, p. 418-91; [5] Решетняк Ю. Г., «Матем. сб.», 1956, т. 40, с. 381-98; [6] Паламодов Ст П., Лінійні диференціальні оператори з постійними коефіцієнтами, М., 1967; [7] Володимиров Ст С., Методи теорії функцій багатьох комплексних змінних, М., 1964; [8] Кутателадзе З. З., Рубінов A.M., «Успіхи матем. наук», 1972, т. 27 № 3, с. 127-176; [9] Данцер Л., Грюнбаум Би., Клі Ст, Теорема Хеллі та її застосування, пров. з англ., М., 1968.

Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер.

Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.