Вирішення систем лінійних рівнянь за допомогою визначників - Book-Science - Наукова енциклопедія

Для простоти розглянемо розв'язання систем із трьох рівнянь із трьома невідомими, хоча цей метод застосуємо також до систем із великою кількістю рівнянь та невідомих. Для спрощення запису індексів у разі введемо такі позначення: для змінних — x, y, z, для коефіцієнтів — ai, bi, ci; для вільних членів - hi, (i = 1, 2, 3):

(Рис.1)

Усі коефіцієнти та вільні члени задані. Якщо всі вільні члени дорівнюють нулю, то система називаєтьсяоднорідною.

У ході рішення будуть використані такі визначники:

Δ називаєтьсявизначником системи, визначники Δx, Δy, Δz -допоміжними визначниками. Δx, Δy, Δz виходять з визначника системи шляхом послідовні заміною елементів першого, другого, третього стовпців вільними членами.

При вирішенні системи (рис.1) можливі два випадки: Δ≠0 та Δ=0.

Якщо Δ≠0, то система має одне єдине рішення, яке обчислюється за формулами Крамера. (З висновком цих формул слід познайомитись за підручником.)

Якщо Δ=0, то формули Крамера втрачають сенс. І тут система несумісна чи має безліч рішень. Очевидною ознакою несумісності системи є відмінність від нуля хоча б одного з допоміжних визначників - x, y, z. Справді, тоді хоча б одне із співвідношень формул Крамера суперечливе.

Таким чином, можна сформулюватиумови спільності та визначеності системи лінійних рівнянь алгебри:

1. Якщо Δ не дорівнює нулю, система має єдине рішення (певна система);
2. Якщо Δ і всі допоміжні визначники дорівнюють нулю, є безліч рішень (невизначені системи);
3. Якщо Δ=0, але хоча б один із допоміжних визначників не дорівнює нулю, система несумісна (рішень немає).

Приклад 3.2. Вирішити систему за допомогою формул Крамера

Застосувавши формули Крамера, отримаємо

Слід звернути увагу на рішенняоднорідної системи лінійних рівнянь (вільні члени всіх рівнянь дорівнюють нулю). Очевидно, що така система має нульове рішення. Це рішення єдине, якщо Δ не дорівнює нулю (відповідно до формул Крамеру). Якщо Δ=0, то система має безліч рішень.

Розглянемо рішення однорідної системи рівнянь алгебри за допомогою визначників

Так як визначник повинен мати однакову кількість рядків і стовпців, доповнимо рядки, що відсутні, нульовими елементами. Визначник такої системи

Усі мінори четвертого та третього порядку також дорівнюють нулю.

Знайдемо хоча б один мінор другого порядку, відмінний від нуля. Наприклад,

На базі цього мінору перепишемо систему у вигляді

У лівій частині системи рівнянь залишені лише ті невідомі, коефіцієнти яких увійшли до цього мінору. Оскільки визначник цієї системи не дорівнює нулю, можна застосувати формули Крамера

Поклавши х1=λ1, х3=λ2, де λ1, λ2 — довільні числа, отримаємо безліч розв'язків системи рівнянь:

Слід зазначити, що рішення цієї системи методом Жордана-Гаусса буде значно простіше.

---