Властивості числової послідовності
На цьому уроці ми розглядатимемо основні властивості числової послідовності.
Спочатку згадаємо визначення числової послідовності та розглянемо кілька прикладів послідовностей. Далі почнемо дослідження послідовностей на монотонність, спадання та зростання. І розглянемо низку прикладів вивчення послідовностей.
Тема: Прогресії
Урок: Властивості числової послідовності
1. Повторення
Числова послідовність є окремим випадком функції, а саме, це функція, задана на безлічі натуральних чисел. А якщо так, то багато властивостей функції та властивості послідовності ідентичні, в тому числі і властивістьмонотонності.
Визначення 1: Послідовність називається зростаючою, якщо кожен наступний член більший за попередній, тобто вірно:
Визначення 2: Послідовність називається спадною, якщо кожен наступний член менший за попередній, тобто вірно:
Зростаючі та спадні послідовності називаються монотонними послідовностями.
2. Приклади монотонних послідовностей, пов'язаних із лінійною функцією
1. Розглянемо послідовність, задану формулою
Мал. 1. Графік функції у=3х+2
- Члени цієї послідовності.
Ми можемо помітити, що це зростаюча послідовність.
Проілюструємо це на графіку.
Якби ми будували графік функції у=3х+2, ми отримали б пряму (див. рис. 1). Крапки на графіку відповідають членам заданої послідовності.
За властивостями лінійної функції, якщо к=30, ця функція зростає. Послідовність – окремий випадок цієї функції. Якщо ця функція зростає, то й відповідна послідовність зростає.
2. Розглянемо послідовність, задану формулою
Мал. 2. Графік функції y = 2-3х
- Члени цієї послідовності.
Ми можемо помітити, що це спадна послідовність.
Якби ми будували графік функції y=2-3х, ми отримали б пряму (див. рис. 2). Крапки на графіку відповідають членам заданої послідовності.
За властивостями лінійної функції, якщо к=-3 0 і спадної при до 0.
Послідовність - спадна, т. до.
Послідовність - спадна, т. до.
Послідовність - спадна, т. до.
Послідовність - зростаюча, тому що .
Послідовність - зростаюча, тому що .
Послідовність - спадна, т. до.
4. Приклади монотонних послідовностей, пов'язаних із квадратичною функцією
1. Розглянемо послідовність, задану формулою.
- Члени цієї послідовності.
Ми можемо помітити, що це зростаюча послідовність.
Якби ми будували графік функції , ми отримали галузь параболи (див. рис. 5). Крапки на графіку відповідають членам заданої послідовності.
Мал. 5. Графік функції
Зазначимо, що властивості функції та властивості послідовності багато в чому пов'язані. Функція зростає. Послідовність – окремий випадок цієї функції. Якщо ця функція зростає, то й відповідна послідовність зростає.
2. Розглянемо послідовність, задану формулою.
- Члени цієї послідовності.
Ми можемо помітити, що це спадна послідовність.
Мал. 6. Графік функції
Якби ми будували графік функції , ми отримали галузь параболи (див. рис. 6). Крапки на графіку відповідають членам заданоїпослідовності.
Зазначимо, що властивості функції та властивості послідовності багато в чому пов'язані. Функція зменшується. Послідовність – окремий випадок цієї функції. Якщо ця функція зменшується, то й відповідна послідовність зменшується.
Зробимо висновок для послідовностей, пов'язаних з квадратичною функцією.
Послідовність є зростаючою при к>0 і спадною при до