Закон Богуславського-Ленгмюра

Закон Богуславського-Ленгмюра, або закон «ступеня трьох других», встановлює взаємозв'язок між анодним струмом та анодною напругою у вакуумному діоді. Ця залежність для електродів найпростіших конструкцій була досліджена 1911 р. американським ученим К. Чайлдом (K.Child), 1913 р. – американським фізиком І. Ленгмюром (I.Langmuir), а згодом перенесена складніші випадки З. А. Богуславським (1923, Україна), І. Ленгмюром (1923), К.Блоджет (K.Blodgett, 1924, США). У зарубіжній літературі закон має ім'я Чайлда-Ленгмюра.

богуславського-ленгмюра

Рис.8.2. До висновку закону «ступеня трьох других»

Визначимо залежність анодного струму від анодної напруги в діоді, утвореному двома плоскими, безмежними, паралельними одна одній пластинами (рис. 8.2). В цьому випадку можна знехтувати крайовим ефектом і вважати поле між анодом і однорідним катодом. Приймемо такі припущення. Нехай біля поверхні катода (x=0)Uk=0, початкова швидкість електронівV0=0. Швидкість електрона в будь-якій точці міжелектродного простору з потенціаломU, якщоV0=0, визначається виразом:

. (8.1)

Враховуючи, що в міжелектродному просторі існує об'ємний заряд, скористаємося рівнянням Пуассона, яке для вакууму та за умови, щоEY=EZ =0, можна записати у вигляді:

. (8.2)

Тутρ- об'ємна щільність заряду (Кл/м 3 ), аε0=8,85∙10 -12 Ф/м - електрична постійна.

Як відомо, об'ємна щільність заряду пов'язана із щільністю струму співвідношенням:

, (8.3)

або з урахуванням (8.1):

. (8.4)

Підставивши вираз для ρ в (8.2), запишемо рівняння Пуассона у вигляді:

. (8.5)

Помножуючи обидві частини рівностей і інтегруючи від 0 доx,отримуємо:

. (8.6)

Постійні інтегрування дорівнюють нулю, тому що приx=0 UK=0таdU/dx=0.

Інтегрування (8.6) після вилучення кореня з обох частин рівності та поділу змінних призводить до наступного результату:

. (8.7)

Звідси легко визначити щільність струму, однакову для будь-якого перерізу міжелектродного простору:

. (8.8)

Підставившиx=dіU=Ua, запишемо для щільності струму біля поверхні анода:

. (8.9)

Щоб знайти значення анодного струму, помножимо (8.9) величинуQaтієї частини поверхні анода, куди потрапляють електрони:

, (8.10)

. (8.11)

Вираз (8.11), що відображає аналітично функціюIa=f(Ua), зветьсязакону «ступеня трьох других».