Заміна змінних у диференціальних виразах
Nav view search
Navigation
- Ви тут:
- Home
- Математичний аналіз
- Заміна змінних у диференціальних виразах.
Заміна змінних у диференціальних виразах.
Література: Збірник задач з математики. Частина 1. За ред А. В. Єфімова, Б. П. Демидовича.
Часто в диференціальних виразах похідні, що входять в них, по одним змінним необхідно виразити через похідні за новими змінними.
Приклади.
7.165. Перетворити рівняння $$x^4\frac+2x^3\frac-y=0,$$ вважаючи $x=\frac.$
Рішення.
Підставимо знайдені значення похідних та вираз $x=\frac$ у задане рівняння.
Відповідь: $\frac-y=0.$
7.167. Перетворити рівняння $$3\left(\frac\right)^2-\frac\frac-\frac\left(\frac\right)^2=0,$$ прийнявши $y$ за аргумент.
Рішення.
Виразимо похідні від $y$ по $x$ через похідні від $x$ по $y:$ $$\frac=\frac>,$$
Підставимо отримані вирази похідних задане рівняння. Отримуємо
Таким чином отримали відповідь.
7.168. Перетворити рівняння $$(xy'-y)^2=2xy(1+y'^2),$$ перейшовши до полярних координат.
Рішення.
$$dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi,\qquad dy=\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi,$$
$$r^4 d\varphi^2=r^2\sin2\varphi dr^2+r^4\sin 2\varphi d\varphi^2\Rightarrow$$
$$\sin2\varphi dr^2=(1-sin 2\varphi)r^2 d\varphi^2 \Rightarrow\left(\frac\right)^2=\frac r^2\Rightarrow$$
7.170. Перетворити рівняння $$(x+y)\frac-(x-y)\frac=0,$$ перейшовши до нових незалежних змінних $u$ і $v,$ якщо $u=\ln\ sqrt,\,\, v=arctg\frac.$
Рішення.
Висловимо приватні похідні від $z$ до $x$ і $y$ через приватні похідні від $z$ до $u$ і $v.$
Підставимо знайдені вирази похідних у задане рівняння:
7.174. Перетворити рівняння $$(xy+z)\frac+(1-y^2)\frac=x+yz,$$ прийнявши за нові незалежні змінні $u=yz-x,\,\ , v=xz-y$ та за нову функцію $w=xy-z.$
Рішення.
$$ ydx+xdy-dz = \frac\cdot \left(-dx+zdy+ydz\right) +\frac\cdot \left(zdx+xdz-dy \right)\Rightarrow$$
Підставимо знайдені вирази $\frac$ і
$\frac$ у задане рівняння. Отримаємо