Завдання 4,ЄДІ решільник
За переказами, колись серед юнаків існувало ворожіння. Один із хлопців затискав у руці 10 сталевих прутиків так, щоб їхні кінці стирчали зверху та знизу, а інший юнак пов'язував ці прутики попарно між собою зверху та знизу. Якщо при цьому всі десять прутиків виявлялися пов'язаними в одне кільце, то це мало означати, що юнак цього року одружується. Яка ймовірність того, що пов'язані прутики утворюватимуть кільце? Відповідь округліть до сотих.
Пронумеруємо прутики від 1 до 10.
На малюнку прутики показані зеленими лініями, а зв'язки між ними – червоними.
Нехай ми попарно зв'язали прутики вгорі. Отримали 5 пар.
Завдання полягає в тому, щоб кожен прут був пов'язаний внизу не з тим, з яким він пов'язаний вгорі.
Наприклад, якщо ми зверху зв'язали перший і другий прутик, то внизу вони не повинні бути пов'язані, інакше загального кільця з усіх 10 прутиків не вийде.
Тоді ймовірність вважається простою.
Імовірність того, що перший прут буде пов'язаний внизу не з другим дорівнює \(P_1=,\) так як перший прут можна зв'язати з будь-яким з дев'яти, але потрібно тільки з одним з восьми.
Наведемо приклад. Нехай зв'язали внизу 1 та 10 прутики, як на малюнку.
Тоді прутик номер 2 ми можемо внизу зв'язати з будь-яким, крім 9-го, щоб не було замкнутого кола з 1-2-9-10 прутиків. Нехай це буде третьим.
Тоді, ймовірність цього дорівнює \(P_2=.\)
Далі четвертий прут ми повинні зв'язати з будь-яким, крім 9-го, тому що в іншому випадку коло замкнеться. Нехай це буде п'ятим.
А шостий можна пов'язати з будь-ким, окрім 9-го, щоби знову не замкнути коло. Нехай це буде сьомий. І так далі.
Підсумкову ймовірність отримуємо перемноженням (P=P_1*P_2*P_3*P_4=***=0,41\). Тут округляємо до сотих.