Завдання для самостійної роботи
За умови, що гіпотеза H 0 правильна, Z має (приблизно) стандартний нормальний розподіл N (0,1). Гіпотеза H 0 відхиляється на рівні значущості α (при двосторонній альтернативі), якщо z > u 1− α 2 де z -
вибіркове значення статистики Z , а u 1- 2 - квантиль стандартного нормального розподілу N (0,1) порядку 1- 2 .
Приклад 4.11. Перевіримо гіпотезу H 0 про однорідність генеральних сукупностей за даними прикладі 4.10, використовуючи критерій Вилкоксона.
Рішення. Значення різниць v 1 − v 2 такі: -2,
-1, 1, -1, 2, 0, -3, 5, -1, -2.
Упорядкуємо абсолютні значення ненульових різниць, відзначимо їх знак і визначимо ранги (нульова різниця не враховується):
Сума рангів негативних різниць R n = 27,5, сума рангів позитивних різниць R p = 17,5, отже, статистика критерію T = 17,5. По таблиці ([14], табл.67) критичне значення T кр для n = 9 на 5%-ном рівні значущості для двостороннього критерію дорівнює 5; тому що Т & gt; 5, то гіпотеза H0 приймається.
У пакеті STATISTICA виводяться такі результати процедури Wilcoxon watched pairs test (рис.4.10):
значення Т-статистики = 17,5; значення Z-статистики ≈ 0,592;
p − level = P [Z> 0,592] ≈ 0,553.
Рис.4.10. Результати рішення прикладу 4.11
Завдання для самостійної роботи
1. Порівнювалася дія двох екстрактів вірусу тютюнової мозаїки. Для цього кожна із двох половин листа натиралася відповідним препаратом. Число уражених місць наводиться нижче:
Чи можна вважати, що дія екстрактів по-різному? Прийняти α = 0,01.
2. Нижче наводиться час вирішення (у секундах) контрольних завдань одинадцятьма учнями до та після спеціальних вправ з усного рахунку:
Чи можна вважати, що ці вправи покращили здібності учнів у вирішенні завдань? Прийняти α = 0,01.
Час вирішення до вправ
Час вирішення після вправ
3. Для десяти осіб було запропоновано спеціальну дієту. Після двотижневого харчування за цією дієтою маса їх тіла змінилася таким чином:
Маса до дієти, кг
Чи можна рекомендувати цю дієту для людей, які бажають схуднути?
Чи надає ця дієта якесь суттєве вплив на масу тіла? Прийняти α = 0,10.
4. Перевірити припущення, що запропонований лікувальний препарат не змінює склад крові (зокрема, кількість лейкоцитів), якщо препарат випробовувався на десяти особинах, а подальший аналіз крові дав такі результати:
0,97; 1,05; 1,09; 0,88; 1,01; 1,14; 1,03; 1,07; 0,94; 1,02 (числа виражають відношення числа лейкоцитів у досвіді до лейкоцитів у нормі). Прийняти α = 0,01.
Посів по чорній парі
6. Зміна врожайності при застосуванні одного з видів передпосівної обробки насіння характеризується такими даними (ц/га):
20,6 22,0 21,4 23,8 21,4
19,4 22,1 21,7 24,9 21,6
Чи можна вважати, що передпосівна обробка насіння підвищує врожайність? Прийняти α = 0,05.
4.10. Однофакторний аналіз Фрідмана
та коефіцієнт конкордації Кендалла
(Friedman ANOVA and Kendall's concordance)
Розглянемо таке завдання. Кіноплівку чотирьох видів було представлено трьом експертам для визначення кращої. Кожному експерту запропонували впорядкувати плівки за рівнем переваги. Бали (ранги), проставлені експертами, наведено у таблиці. Найбільший бал відповідає плівці найкращої якості.
Потрібно визначити, чи різняться види плівок та чи узгоджені оцінки експертів.Якщо оцінки експертів погоджено, тобто. є незалежними, то такими оцінками, очевидно, не можна довіряти, тому що в цьому випадку оцінки носять випадковий характер і на них не впливають представлені плівки.
Це завдання можна узагальнити.
Нехай таблиця результатів оцінки чи спостережень n об'єктів складається з k рядків та n стовпців. У рядках записуються k ранжированих змінних, причому довжини ранжувань (обсяги вибірки) дорівнюють n . Рядки таблиці можна як k пов'язаних вибірок обсягом n . Зв'язок вибірок випливає з того, що вибірки - суть повторні спостереження на одних і тих же n об'єктах. Якщо об'єкти не відрізняються між собою, суми рангів по стовпцях також не відрізнятимуться. Нульова гіпотеза H 0 : між стовпцями немає відмінності – перевіряється за допомогою статистики Фрідмана F.
Виборне значення F -статистики F обчислюється за формулою