Згортка послідовностей
Згортка послідовностей- це результат перемноження елементів двох заданих числових послідовностей таким чином, що члени однієї послідовності беруться зі зростанням індексів, а члени іншої - зі спаданням (що і є підставою для прийнятої назви даної операції).
Згортка послідовностей - це окремий випадок згортки функцій.
Згортка є лінійним перетворенням послідовностей, що входять до неї.
Згортку двох заданих послідовностей можна отримати, якщо спочатку використовувати для кожної послідовності дискретне перетворення Фур'є (ДПФ), потім перемножити результати перетворення і зробити зворотне дискретне перетворення Фур'є (зворотне ДПФ). Ця важлива властивість знаходить своє широке застосування у цифровій обробці сигналів.
Розрізняють періодичну та лінійну згортки, які використовуються для періодичних та кінцевих послідовностей відповідно.
Зміст
До традиційних типів згорток відносяться:
- лінійна згортка;
- кругова згортка (періодична);
- кругова згортка (аперіодична);
- згортка за допомогою дискретного перетворення Фур'є (ДПФ).
Розглянемо правила та послідовність розрахунку кожного виду згортки.
Розрахунок лінійної згортки
Для розрахунку лінійної згортки необхідно виконати таку послідовність дій:
В результаті виконання всіх описаних вище операцій отримаємо лінійну згортку двох послідовностей.
Розрахунок періодичного кругового згортки
Для отримання кругової згортки (періодичної) необхідно уявити, що дві послідовності розташовуються на двох колах. Одне коло знаходиться всередині іншого. Значення кожної з цихпослідовностей рівновіддалені один від одного. Для отримання кожного значення кругової згортки необхідно уявити, що одна з послідовностей рухається по колу щодо іншої за годинниковою стрілкою. Наприклад, візьмемо перше значення послідовності, яка обертається, послідовно помножимо на значення іншої послідовності і підсумуємо результати множень - так отримаємо перше значення вихідної послідовності, отримане за допомогою кругової згортки. Дані дії повторити кожного значення послідовності, яка обертається щодо інший. Кількість елементів у вихідній послідовності дорівнюватиме кількості елементів послідовності, яка обертається.
Отримана послідовність еквівалентна згортці двох періодичних сигналів.
Розрахунок аперіодичної кругової згортки
Для отримання кругової згортки (аперіодичної) виконується ті самі операції, що і для отримання кругової згортки, але при цьому збільшити кількість елементів до кількості N o u t > . Вхідні послідовності слід доповнити нулями до цієї кількості. При виконанні цього виду згортки усувається ефект кругового накладання, що виникає при круговій згортці.
Виконання згортки за допомогою ДПФ
Для виконання згортки за допомогою дискретного перетворення Фур'є необхідно доповнити нулями обидві вхідні послідовності так, щоб кількість елементів у цих послідовностях дорівнювала N o u t > . Далі необхідно зробити пряме ДПФ за формулою прямого перетворення Фур'є.
Далі проводиться послідовне множення елементів першої послідовності з елементами другої послідовності. Після проводиться зворотне перетворення за формулою зворотного перетворенняФур'є, в результаті якого отримуємо згортку, розраховану за допомогою ДПФ.
Для перевірки правильності розрахунків лінійної, кругової (аперіодичної) або згортки за допомогою ДПФ можна зробити додатково розрахунок однієї з двох інших типів згортки так як вихідні послідовності повинні дорівнювати при однакових вхідних послідовностях.