Звідки виникає посмішка волатильності

Продовжуючи популярну зараз тему з моделями посмішки волатильності хочу поділитися результатами свого дослідження на цю тему. Трохи стрімко робити це після поста Віталія Курбаковського. Але може комусь і моє дослідження буде цікавим. Я сам не математик і не трейдер, просто програміст. Тому не судіть суворо.

Спостерігаючи за поведінкою посмішки волатильності, вже давно мучили питання: Чому посмішка піднімається то вгору, то вниз? Чому вона вигнута саме так, а чи не інакше? Чому перекочується за поточною ціною ХА, причому дно посмішки праворуч від ХА і тільки до експірації підтягується до ХА і посмішка стає симетричною? Чому гілки в неї то піднімаються, то опускаються? І головне питання: Що причина виникнення посмішки волатильності? У деяких джерелах стверджують, що посмішка виникає через товсті хвості розподілу прирощень. Вирішив перевірити це та провести невелике дослідження.

Наскільки зрозумів теорію питання, щоб порахувати свою посмішку волатильності, потрібно мати розподіл ймовірностей, якою буде ціна БА на експірацію (надалі — розподіл цін). Якщо знати цей розподіл, то можна однозначно обчислити ціни опціонів на кожному страйку, і потім, використовуючи формулу Блека-Шоулза, можна обчислити IV на кожному страйку і отримати посмішку волатильності. Як можна отримати розподіл цін? Вирішив побудувати його, генеруючи тисячі випадкових траєкторій ціни, починаючи з поточного значення ТИ БА. Кінцеві точки траєкторій (ціна бронхіальної астми на експірацію) зберігаю, і в кінці дивлюся, як часто ціна потрапляла в той чи інший діапазон. Так отримую розподіл цін на експірацію. Для побудови випадкової траєкторії вирішив використати розподіл прирощень, який реально був на ринку (надалі — емпіричний розподіл). Ось,наприклад, розподіл прирощень (на хвилинках) для ф'ючерсу RTS-9.11:

На гістограму розподілу реальних прирощень накладено графік щільності нормального розподілу. Видно, що розподіл реальних збільшень відрізняється від нормального:

Ймовірність незначних змін ціни більша, ніж у нормальному розподілі;
Ймовірність середніх змін ціни менша, ніж у нормальному;
Ймовірність значних змін ціни більша, ніж у нормальному (площа під хвостами +-3*сигми у емпіричного розподілу втричі більша ніж у нормального);

Можливо посмішка волатильності виникає саме через ці відмінності емпіричного розподілу від нормального? Перевіримо це. Побудуємо розподіл цін на експірацію, використовуючи емпіричний розподіл. Але спочатку трохи підкоригуємо його. Справа в тому, що в емпіричному розподілі вже закладено тренд, який був у бронхіальної астми за аналізований період (наприклад RTS-9.11 за обраний період впав з 183505 до 161190). І якщо використовувати вихідний емпіричний розподіл, то маточіння розподілу цін на експірацію сильно відрізнятиметься від стартової точки траєкторій. Посмішку волатильності будувати за таким розподілом не можна. Оскільки не виконуватиметься кол-пут паритет. І посмішки, пораховані окремо для путів та для колів, не співпадатимуть. Для виконання паритету необхідно, щоб довкілля розподілу цін на експірацію дорівнювало поточній ціні БА (стартовому значенню для всіх траєкторій). Виключимо трендову складову з прирощень (як порадив broker25 у цьому пості) та побудуємо підкоригований розподіл цін на експірацію:

У цього розподілу матожидання збігається з поточним значенням ТИ БА, тому можна розраховувати посмішки. Порахуємопосмішку окремо для путів та окремо для колів. Ось що вийшло:

Чорна жирна лінія - посмішка волатильності, яку на той момент транслювала біржа. Зелена - посмішка волатильності, порахована за розподілом цін для опціонів кол. Рожева - посмішка волатильності для опціонів пут.

Видно, що з обох боків пораховані посмішки починають розходитися, тобто. перестає виконуватися кол-пут паритет. Але головне, пораховані посмішки зовсім не схожі на параболу. І нагадують скоріше горизонтальну лінію. Як же у біржової посмішки виходить парабола?

Тут я довго бився, перевіряв ще раз розрахунки, але всі уточнення призводили до того, що посмішка ставала все більш схожою на горизонтальну лінію. Поки не помітив, що в теор.цінах, що транслюються біржею, мінімальна внутрішня вартість опціону не буває менше 10п. Ввівши таку корекцію, отримав ось таку посмішку:

Це вже більше схоже на біржову посмішку. Але все одно бентежить шматково-лінійна структура. Приберемо корекцію з 10п і штучно «обтяжимо» хвости розподілу цін так, щоб ця умова (внутрішня ціна опціону = 10п) виконувалася автоматично. Для такого розподілу отримуємо ось таку посмішку:

Здається, ми на вірному шляху і посмішка все ближче до біржової. Питання лише — як саме «обтяжити» хвости у розподілу цін? І чому, власне, їх треба «обтяжувати»? Адже ми використовували розподіл прирощень, у якому й так хвости були набагато товстішими, ніж у нормального розподілу. Можливо, причина криється залежно від збільшення. Коли ми будували чергову випадкову траєкторію руху БА до експірації, то на кожному кроці чергове збільшення вибиралося незалежно від попереднього. Тобто. ми виходили з принципу, що прирощення в емпіричному розподілі є незалежними. Але такЧи це насправді?

Проведемо експеримент: після кожного значного збільшення (наприклад, на +100п) запам'ятаємо наступне збільшення і подивимося, який вийде розподіл таких збільшень. Ось який умовний розподіл виходить:

Видно, що маточіння цього розподілу не нуль (0.02% від ціни БА) і 60% прирощень мають позитивні значення. Тобто. у 60% випадків після зростання вгору на 100п і більше, на наступному барі рух вгору продовжувався і в середньому було приблизно 30-40п (скальперам - на замітку!). Тобто. Наш експрес-аналіз показує, що прирости не можна вважати незалежними. І для генерації випадкової траєкторії руху ціни потрібно не просто випадково вибирати чергове приріст, а використовувати при цьому деякі залежності.

Спробуємо зімітувати такі залежності. Наприклад, розглянемо такий варіант: у 98% траєкторії будуються абсолютно випадково, у 1% траєкторія будується випадково, але з тенденцією до падіння, у 1% — до зростання. Ось який розподіл цін виходить:

Для такого розподілу виходить наступна посмішка волатильності:

Форма посмішки дедалі ближче до біржової. Розберемося тепер із дном посмішки. У трансльованої біржею посмішки дно знаходиться праворуч від поточного значення ТИ БА, і в міру наближення до експірації, підтягується до ТИ БА. І в останній день посмішка стає нарешті симетричною. Із чим пов'язана така поведінка посмішки? Тут допоміг Олег Мубаракшин:

За зміщення дна відповідає кореляція між ціною та волатильністю. Те, що ми спостерігаємо для опціонів на індекс — наслідок негативної кореляції між збільшенням ціни ф'ючерсу і збільшенням його волатильності. Спробуємо змоделювати це. Тобто. будемо використовувати не фіксований розподіл прирощень, а динамічно змінюється,залежно від цього: зростає поточна траєкторія ціни чи падає. Якщо росте, поступово знижуватимемо волатильність. Якщо падає — підвищуватимемо волу. Ось який розподіл цін виходить за такого моделювання:

Видно, що тепер ліва сторона розподілу більш розтягнута, оскільки для її побудови використовувався волатильний розподіл прирощень. Подивимося тепер на посмішку, яка виходить за такого розподілу цін:

У посмішки справа виникла невелика загогулина, мабуть, у розподілу цін справа недостатньо товстий хвіст вийшов. Але головне, що затвердження Олега підтвердилося! Дно справді змістилося праворуч. Якщо подивитися в динаміці, то дно у такої посмішки буде так само, як і у біржової з наближенням до експірації підтягуватися до БА.

Отже, ось відповіді на вихідні питання:

Відмінність емпіричного розподілу прирощень від нормального та його товсті хвости не є причиною виникнення посмішки.
Посмішка виникає через товсті хвості розподілу цін на експірацію.
Швидше за все, ці товсті хвости виникають через залежність прирощень в емпіричному розподілі.
Вертикальне положення посмішки залежить від сигми розподілу прирощень: розподіл з більшою сигмою підніматиме посмішку вертикально вгору, з меншою — опускатиме вниз.
Нахил гілки посмішки залежить від «тяжкості» хвоста розподілу цін: чим «важчий» хвіст, тим більший кут нахилу відповідної гілки посмішки.
Усунення дна посмішки вправо пов'язане з негативною кореляцією між ціною бронхіальної астми та її волатильністю.

Ось таке дослідження та такі висновки вийшли. Буду радий будь-якій критиці чи новим ідеям.