2 Нові рішення задач
Список завдань із рішеннями щодо функціонального аналізу.
1) Нехай - лінійний нормований простір. Довести, що з будь-яких елементів виконується нерівність.
з аксіом норми:
2) Чи можна в просторі прийняти норму елемента:
A);
B);
C)
D)
E)
A) Можна, оскільки: 1.
B) Не можна, тому що не виконується перша аксіома норми:
З) Не можна, оскільки виконується перша аксіома норми. Візьмемо
D ) Можна, оскільки:
E ) Можна, оскільки:
безперервності Зворотне
твердження очевидне. 2.
3) Чи буде багато всіх багаточленів у просторі
A ) Безліч всіх багаточленів у просторі
не є відкритим, так
як у теоремі Фейера будь-яку безперервну на відрізку функцію можна поступово наблизити середніми Чезаро, які є алгебраїчними многочленами. Отже, околиця будь-якої точки множини містить елемент, що множини не належить.
B ) Безліч всіх багаточленів у просторі
не є замкнутим.
Розглянемо приклад, функцію
можна наблизити частковими сумами ряду
Тейлора, які є багаточленами алгебри. Отже,
безліч усіх багаточленів у просторі
не містить усіх граничних
точок, отже воно не є замкнутим.
4) Довести, що всяке кінцеве лінійне різноманіття в лінійному нормованому просторі є підпростір.
За визначенням лінійним підпростором, що належить лінійному нормованому простору, називається лінійне різноманіття, якщо воно замкнуте щодо збіжності за нормою, отже, достатньо довести,що в лінійному
нормованому просторі кінцеве лінійне різноманіття
Доведемо протилежного. Нехай
розглянемо замкнуту кулю
- Звичайне, замкнене, обмежене.
згідно з нерівністю трикутника
це суперечить припущенню, що . Отже замкнуто і є підпростором
5) Нехай - лінійний нормований простір,
. Довести, що не містить жодної кулі.
Доведемо протилежного. Нехай
чином, дійшли суперечності.
6) Чи утворюють у просторі підпростір такі множини функції:
A) монотонні функції B) парні функції;
D) безперервні шматково-лінійні функції?
A) Не утворюють, оскільки якщо розглянути , то
- Не є монотонною.
B) Безліч парних функцій утворює лінійне різноманіття, оскільки
замкнуто від неприємного. Нехай
- Протиріччя. Отже, безліч парних функцій утворюють підпростір.
C) Не утворюють підпростір, оскільки безліч багаточленів у просторі не є замкнутим.
D) Не утворюють, тому що безліч безперервних шматково-лінійних функцій не
є замкнутим у
не є замкнутим.
7) Чи утворюють у просторі C [-1,
1] підпростір наступні безлічі функцій:
A) багаточлени ступеня ≤k;
B) безперервно диференційовані функції;
C) безперервні функції з обмеженою варіацією;
D) функції, які задовольняють умові?
A) Так. Безліч багаточленів ступеня
є лінійним
різноманіття, оскільки ця множина замкнута щодо операцій складання та множення на число, введених як і в просторі безперервнихфункцій, тобто лінійним простором.
Також воно є кінцевим, оскільки базис складається з
Отже, безліч багаточленів ступеня
лінійним різноманіттям у лінійному нормованому просторі
означає за завданням 4 (довести, що всяке кінцеве лінійне різноманіття в лінійному нормованому просторі є підпростір) є підпростором.
B) Ні. Доведемо, що безліч безперервно диференційованих функцій незамкнуто щодо норми простору.
де Покажемо, що вона безперервно диференційована:
Оскільки межі рівні, то похідна у цій точці є й дорівнює -1 .
Аналогічно отримуємо, що
Разом отримуємо безперервну на відрізку
Тобто отримали, що
не є безперервно
диференційованою функцією. Значить, безліч безперервно диференційованих функцій незамкнуто, отже, не є підпростором.
Доведемо, що безліч безперервних функцій з обмеженою варіацією
незамкнуто щодо норми простору
Покажемо, що безперервна. При очевидно.
треба показати, що
Покажемо, що варіація
При підсумовуванні варіацій по напівінтервалам
Розглянемо тепер послідовність функцій з обмеженою варіацією:
Тобто отримали, що , але не є функцією з
обмеженою варіацією. Значить, безліч безперервних функцій з обмеженою варіацією незамкнуто, отже, не є підпростором.
Безліч функцій , що задовольняють умові , є лінійним різноманіттям, оскільки ця безліч замкнута відносно
операцій складання та множення на число, введених як і у просторі безперервнихфункцій, тобто лінійним простором. Доведемо замкнутість.
8) Нехай X - лінійний нормований простір, безліч - фіксовано. Довести, що безперервне відображення.
Опр. Якщо відображення f безперервно у всіх точках простору X, то кажуть, що f безперервно на X.
Опр. Кожному елементу
ставиться у відповідність певний елемент
з Y. Це відображення називається безперервним у точці
, якщо для кожного
(тут - відстань у X, а - відстань у Y). Фіксуємо
Доведемо, що для довільних буде виконано
- мінімізуюча послідовність для , тобто
По нерівності трикутника:
Отже, відображення безперервне за визначенням.
9) Довести, що будь-який кінцевий лінійний нормований простір є банаховим.
Позначимо E – кінцевий лінійний нормований простір. Візьмемо фундаментальну послідовність елементів
, де - Базис простору E.
всі його координати задовольняють нерівності
, де H - постійна, залежить тільки від вибору базису в E (лема
5. 3.2 з Вуліх Б.З «Введення у функціональний аналіз»), то
Отже, завдяки повноті безлічі дійсних чисел існують
з Вуліх Б.З «Введення у функціональний аналіз»:
за нормою. Саме, нехай
Таким чином, повнота E
доведено, тобто. воно банахове.
10) Довести, що підпростір банахового простору є банаховим простором.
Розглянемо фундаментальну послідовність
береться така сама, як і в
). Ця послідовність є фундаментальною і в т.к.
підпростір. Оскільки – банахове, то
підпростір, тоза визначенням підпростору воно замкнуте,
Отримали, що довільна фундаментальна послідовність
Отже, - банахове по
11) Чи може в банаховому просторі мати порожній перетин послідовність непустих замкнутих вкладених множин?
Приклад: банахове простір (простір речових чисел) і послідовність непустих замкнутих вкладених множин у ньому:
12) Довести, що в просторі зі скалярним твором для будь-яких елементів має місце тотожність Аполлонія:.
Перетворимо ліву частину тотожності, користуючись властивостями скалярного твору:
Перетворюємо праву частину тотожності, користуючись властивостями скалярного твору:
Таким чином, у просторі зі скалярним твором для будь-яких елементів тотожність Аполлонія має місце.
13) Довести, що для того щоб елемент гільбертового простору був ортогональний під простором, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого елемента мала місце нерівність.