2.2. Безліч потужності континуум
Розглянемо одну з можливих процедур, що дозволяє отримувати множини з потужністю, що перевищує деяку вихідну.
Визначення.Багатою всіх підмножинабобулеаном множини Мназивають безліч, що складається з усіх підмножинМ.Позначають його через [M].
У кінцевих множинМпотужність [М] дорівнює 2 М.Тому для множини всіх підмножин (булеана) також застосовують позначення 2М.
а) нульовий елемент ;
б) усі натуральні числа поодинці;
в) всі можливі поєднання по 2, 3, 4 і т. д. (кінцевої довжини);
г) усі можливі поєднання натуральних чисел лічильної довжини.
Теорема 2.4 (Г.Кантор). ПриМ справедливо: Mn.
Розглянемо нескінченні множини. ОскількиМ [М], то завжди M[М]. Доведемо утвердження теореми від протилежного. Допустимо,M=[М].За визначенням еквівалентності множин це означає, що існує взаємно однозначне відображенняf:M[М], яке кожному елементуаМставить у відповідність деяке підмножинаА [М>].
Аналізуючи всі елементиаМта їх образиf(а) =А [М], будуємо допоміжну множинуХнаступним чином: якщоане входить у свій образ,аf(а),тоавключається вХ.
МножинаХ [М], оскільки [М] містить усі можливі підмножиниМ. Оскількиf— однозначне взаємне відображення, то дляХповинен існувати елементхМ, такий, щоf–1 :Хх,f(х) =Х.
Для елементахє лише дві можливості: a)хX, б)хХ. Допустимо, вірно а). Оскількихміститься у своєму образі, то він не повинен входити доX,хХ. У разі б) також отримуємо протиріччя, оскількихза алгоритмом має бути включений доХ. Отримане протиріччя свідчить, щоf-1 на множиніХне визначено, отже, взаємно однозначне відображенняf:M [М] не існує і M[М].Отже, M В; в) А = В. Звідси випливає, що незрівнянних за потужністю множин немає.
Визначення.Множествами потужності континуумназивають множини, еквівалентні безлічі дійсних чисел на відрізку [0,1]. Позначається цей вид потужностіСабо .
Можна показати шляхом побудови відповідного взаємно однозначного відображення, що між потужностями лічильної множини та множини потужності континуум існує наступний зв'язок: [N]=2N= C.
На відміну від лічильних, безлічі потужності континуум не можна впорядкувати. Безліч дійсних чисел на відрізку [0;1] є як би еталоном для інших множин потужності континуум, з яким їх порівнюють шляхом побудови однозначних взаємно відображень. Г. Кантором дано прямий доказ незліченності даної множини за допомогоюдіагональної процедури.
Теорема 2.5 (Г.Кантор). Безліч дійсних чисел на відрізку [0; 1] незліченна.
Припустимо, що розглядається безліч рахунків. При цьому всі речові числа на відрізку [0; 1] можуть бути упорядковані у вигляді лічильного списку, в який кожне з них входить рівно один раз і представлене нескінченною послідовністю десяткових знаків:
Побудуємо нескінченний дріб γ=0,γ1γ2γ3… за наступним правилом: якщо βii=1,то γi= 2, а якщо βii≠1,то γi=1.З алгоритму побудови випливає, що дріб γ не збігається з жодним з чисел βi,оскільки γi≠βii. Отже, речове число γ, що належить відрізку [0; 1], не міститься у списку. Отримуємо протиріччя з припущенням про можливість упорядкування всіх дійсних чисел із цього відрізка.
Приклад 4. Знайти потужність множиниRдійсних чисел на всій числовій осі (–;).
Рішення.Очевидно,R С,оскільки відрізок [0;1] R. Доведемо строгу рівність R= Сшляхом побудови взаємно однозначного відображенняfмножиниА =[0;1] наR.За допомогою одних лінійних відображень неможливо однозначно взаємно відобразити кінцевий відрізок на нескінченну область. Ця властивість має тригонометричну функціюу= tg(х). Але діє на відрізку [–/2; +/2], тому спочатку необхідно взаємно однозначно відобразити відрізок [0;1] (множинаА) на відрізок [–/2; +/2] (який позначимо множиноюВ),а потім множинуВвзаємно однозначно відобразити наR.
Перше завдання може бути вирішено за допомогою лінійного відображення. Оскільки воно має два невідомі коефіцієнти (С0,С1), то їх можна знайти, підставивши в рівняння зв'язкуb=С0a+С1 дві пари значень з множинАіВ, які повинні взаємно однозначно відображатися один в одного. Якщо взяти як такі пар мінімальні та максимальні значення на відрізках (0 –/2; 1 + /2), то безліч точок, що лежать між ними, взаємнооднозначно відобразяться один на одного і завдання буде виконане. Підставляючи виділені пари рівняння зв'язку, отримаємо систему двох рівнянь:
Вирішуючи систему (наприклад, методом виключення), отримаємо:
Для взаємно однозначного відображення множиниВнаR(позначимо йогоh:ВR) використовуємо функцію tg :bB,h(b)= =tg(b)=rR.
Підсумкове відображенняf:ARпредставимо у вигляді композиціїf=h g. Оскількиhіgвзаємно однозначні, то іfза якістю композицій буде взаємно однозначним. Підставляючи рівнянняb(а) залежністьr(b), знайдемо рівняння для відображенняf, що зв'язує елементиаз елементамиrR:r=tg ( a–/2).
З факту побудови взаємно однозначного відображенняf:ARза визначенням випливає еквівалентність множинAіR.Звідси отримаємо: R = A =С.
З точки зору потужності, безліч усіх точок, що лежать усередині та на межі квадрата [0;1] [0;1], еквівалентно потужності всіх точок на відрізку [0;1].
Теорема 2.6 (Г.Кантор).Безліч всіх точок декартового квадрата [0;1] [0;1] має потужність континуум.
Доказ. Побудуємо взаємно однозначне відображення всіх точок із квадрата [0;1] [0;1] на множину речових точок відрізка [0;1].
Як і за доказом Теореми 2.5, кожне з дійсних чисел, що задають координати точок квадрата [0;1] [0;1] або відрізка [0;1], представимо у вигляді нескінченного десяткового дробуα= 0, α1α2α3…, де 0≤ αi≤9.Усі кінцеві дробиα =0,α1α2α3 …αkдля однаковості задаємо в еквівалентній нескінченній формі:α =0, α1α2α3 …(αk-1)99…. У тому числі: 1 = 0,99….
При обраному способі представлення кожній точці відрізка відповідає один нескінченний десятковий дрібх =0, х1х2х3…, що задає її координату на відрізку. Кожній точці квадрата — два дробих =0, х1х2х3 … тау =0, у1у2у3…, які дорівнюють її декартовим координатам по осях.
Шукане взаємно однозначне відображення будуємо в такий спосіб. Кожного нескінченного десяткового дробух =0, х1х2х3 …, що задає координату точки на відрізку [0;1],ставимо у відповідність два дробих' =0, х1´ х2´ х3'… іу'=0, у1´ у2´ у3´…, які однозначно задають точку квадрата [0;1] [0;1], за таким правилом:
Відображення є однозначним, має зворотне відображення (х',у')х,яке також однозначно. Отже, воно є взаємно однозначним і [0;1] [0;1]=С, ч.т.д.
Аналогічно можна довести потужність континуум для всіх точок куба [0;1] 3 = [0;1] [0;1] [0;1] та інших більш високих декартових ступенів [0;1]nмножини [0;1].
Отриманий результат був дивовижний всім математиків, зокрема — самого Г.Кантора, оскільки він входив у суперечність із поняттям просторової розмірності об'єктів. Однак побудоване відображення не є безперервним в обидві сторони, що в математиці є достатньою умовою для збереження розмірності.
Приклад 5. Знайти потужність множиниR2 точок на декартовій площині.
Рішення.Використовуючи відображення видуr=tg (a- /2) з Прикладу 4, можна однозначно взаємно відобразити всі точки декартової площини на декартів квадрат [0; 1] [0;1], потужність якого, як доведено в Теоремі 2.6, дорівнює континууму. Отже, R2 = С.
Зауваження. Оскільки процес породження множин з більшою потужністю нескінченний, то розглянувши безліч [А] всіх підмножин континуальної множиниА, отримаємо безліч 2А,потужності більшої, ніж континуум:[А]=2C>С.Потужність 2Cмає, зокрема, безліч усіх функцій, визначених наR .
Застосування теореми Кантора-Бернштейна значно полегшує доказ еквівалентності множин потужності континуум однакової розмірності. Для цього найпростіше скористатися масштабною зміною розмірів об'єктів, яку можна виконати лінійними перетвореннями з ненульовими лінійними коефіцієнтами, що взаємно однозначні відображення.
Приклад 6. Знайти потужність множиниAточок, що належать колу радіусуr=0,5 з центром у точці (1; 1) на декартовій площині.
Рішення.Доведемо еквівалентністьАбезлічі точок квадрата [0;1] [0;1] (множинаВ, рис.2.4).
1. Спочатку доведемо еквівалентністьАдеякому підмножиніВ. Використовуючи взаємно однозначне відображеннях=1·х -0,5;у=1·у -0,5,відобразимо колоАна колоА , розташований усерединіВ. Звідси випливає: A =A ,A B.
2. Доведемо, щоВеквівалентно підмножиніА. За допомогою взаємно однозначного відображеннях=0,5х +0,75;у=0,5·у+ 0,75,квадратВвідобразимо на квадрат меншого розміруВ, розташований усередині колаA. Звідси випливає: В = В ,В А.
За теоремою Кантора-Бернштейна з 1 і 2 випливає: А = В.Звідси з урахуванням результатів Теореми 2.6 отримаємо: A =С.
1. Знайти потужність:
а) всіх дійсних чисел в інтервалі [5; 10];
б) множини дійсних чисел (–; –r] (r; +), деr— деяке позитивне речове число;
в) безлічі дійсних чисел в поєднанні відрізків виду [2i; 2i+1),деiZ;
г) множини дійсних чисел (–; 0] (1;+);
е) множини всіх точок на колі радіуса 1 з центром у точці (0; 0);
ж) множини точок на параболіу =(х–2) 2 при– х+ .
2. Побудувати приклад взаємно однозначного відображення:
а) множиниN10 цілих чисел, кратних 10, на безлічN2 парних чисел;
б) множини дійсних чисел [0;4] на множину дійсних чисел [0;4] (7;10];
в) множини всіх кіл на площині на множину всіх квадратів на площині зі сторонами, паралельними осям координат.
3. Побудувати взаємно однозначне відображення відрізка [0; 1] на позитивну піввісь [0; ).
4. Чи існує взаємно однозначне відображення:
а) множини всіх дійсних чиселRна множину всіх цілих чиселZ?
б) множини всіх раціональних дійсних чисел на множину всіх цілих чисел?
5. Навести приклади лічильних підмножин на множинах:
а) всіх прямих на площині;
б) куль упросторі;
в) векторів уn-мірному просторі.
6. Чи будуть мати однакову потужність:
а) множиниN3 іN4 всіх натуральних чисел, кратних відповідно 3 і 4?
б) множиниN3 3 іN3 4 всіх тризначних у десятковій системі числення натуральних чисел, кратних 3 і 4?
7. Довести із застосуванням теореми Кантора-Бернштейна еквівалентність множин точок:
а) кулі з радіусомR>0 і відповідної йому сфери,
б) 3-мірного простору та прямої лінії в ньому.