3.3. Рівняння моментів кількості руху (друге рівняння Ейлера)
З курсу механіки відомо, що зміна сумарного моменту кількості руху щодо будь-якої осі дорівнює сумі моментів імпульсів усіх сил, прикладених до тіла щодо тієї ж осі. Щодо осіxможемо написати (рис.3.3):
dm(wzy-wyz) =Mxd(3.7)
де вираз у дужках означає момент кількості руху елементарної маси щодо осіx. При стаціонарному русі зміна моменту кількості руху рідини, що переміщується за час d з об'єму 1 - 2 в об'єм 1, дорівнює різниці моментів кількості руху в елементарних об'ємах 2 - 2' і 1 - 1':
деG- секундна масова витрата рідини.
Мал. 3.3. Схема висновку рівняння моменту кількості руху
Момент кількості руху заштрихованої маси 1' - 2 (рис.3.3) через стаціонарність руху при відніманні скорочується. Підставляючи (3.8) у ліву частину (3.7) після інтегрування отримуємо рівняння моментів кількості руху у гідродинамічній формі щодо осіx. Відповідні рівняння щодо осейyіzможуть бути написані за аналогією з рівнянням для осіx:
Рівняння моментів кількості руху має просту та зручну форму у полярних координатах. В цьому випадку вектори швидкості розкладаються на тангенціальні (окружні) та радіальні складові, при цьому моменти кількості руху радіальних швидкостей дорівнюють нулю. Схема визначення моменту кількості руху на полярних координатах показано на рис.3.4.
M = G()(3.10)
Це рівняння відоме як турбінне рівняння Ейлера.
Мал. 3.4. Момент кількості руху у полярнихкоординатах (u1=wφ– вектор тангенційної швидкості)
При русі за інерцією момент рівнодіючої щодо полюса0дорівнює нулю і ми приходимо до відомого закону сталості площ трикутників, побудованих на радіус-векторі будь-якої точки рідини та векторі її тангенційної швидкості:
Рівняння (3.11) виражає закон потенційного обертання. Оскільки тангенціальна швидкість дорівнюєwφ= ω·r,то очевидно, що зі зменшенням радіусу тангенціальна швидкість збільшується, межі до нескінченності. Оскільки це фізично неможливо, то на деякому радіусі рідина починає обертатися згідно із законом обертання твердого тіла. На відміну від закону потенційного обертання, закон обертання твердого тіла встановлений експериментально, тобто не був виведений аналітично. Однак він був багато разів підтверджений у дослідженнях різних вчених не тільки при ламінарному перебігу газу, але і в умовах розвиненої турбулентної течії, у тому числі в камерах згоряння ВМД. Схема фізичного вихору показано на рис 3.5.