5.4. Знаходження критичних точок
Критичні точки є межами критичних галузей. Тому для повного завдання критичних областей достатньо знайти їх граничні (критичні) точки.
Завдання знаходження критичних точок максимально полегшене для користувача. Критичні точки не потрібно обчислювати: вони перебувають із відповідних таблиць.
Поміщені в таблиці критичні точки розраховані, виходячи з вимоги: якщо нульова гіпотезаH0 з ймовірністю γ вірна, то значення, що одержуються в досвіді,Kнповинні з цією ймовірністю γ потрапляти у сферу прийняття гіпотези. Імовірність γ прийнято брати досить великий (близька 1). Сказане можна висловити іншими словами: якщо нульова гіпотезаH0 з ймовірністю γ вірна, то з ймовірністю α = 1 - γ значення критеріюKнповинні потрапляти в критичну область. Імовірність називаютьрівнем значимості. За своїм змістом є ймовірність того, що в результаті перевірки буде відкинута правильна гіпотеза. Перевірку статистичних гіпотез прийнято проводити, задаючи не ймовірність, а деяке досить мале (близьке до нуля) значення рівня значущості. Найчастіше рівень значимості приймають рівним 0,01 чи 0,05. Якщо, наприклад, рівень значущості обраний рівним 0,01, то в середньому в одній зі ста перевірок, що проводяться за однаковою схемою, буде відкинута правильна гіпотеза.
Правостороння критична область складається з таких значень критеріюK, які задовольняють нерівностіK>kкр, приkкр> 0. Томуkкрдля правосторонніх критичних областей розраховані, виходячи з вимоги, щоб (за умови справедливості нульової гіпотези) ймовірність виконання нерівностіK>kкрбула дорівнює заданому малому рівнюзначимості α:
Критичні точки лівосторонніх критичних областей розраховані, виходячи з вимоги, щоб (за умови справедливості нульової гіпотези) можливість виконання нерівностіKkкр2 . Для цієї галузі критичні точки мали б (за умови справедливості нульової гіпотези) перебувати з рівняння:
Існує нескінченно багато пар (kкр1,kкр2), що задовольняють цьому рівнянню, тому у звичайних прикладних задачах такі випадки не розглядають. Якщо значення критерію розподілені симетрично щодо нуля, те й критичні точки можна взяти симетричними: -kкр1=kкр2 =kкр. В цьому випадку замість (5.1)
то критичні точки для двосторонньої критичної області розраховані з рівняння
5.5. Перевірка гіпотези про рівність двох середніх значень нормальних генеральних сукупностей
Нехай вивчаються дві генеральні сукупності біологічних об'єктів, в одній з яких вимірюється ознакаX, а в іншій ознакаY.Нехай на підставі минулих вимірів та перевірок можна очікувати, що генеральні середніM(X) іM(Y) цих сукупностей рівні між собою. Інакше кажучи, нехай очікується, як і нова перевірка нульової гіпотезиН0 :M(X) =M(Y) покаже, що ця гіпотеза знову має бути прийнята.
Сувора перевірка цієї гіпотези може бути проведена, якщо ознакиXтаYрозподілені нормально і дисперсії їх відомі. Однак у практиці статистичного аналізу обидві ці умови виконуються рідко. Як правило, трапляються такі випадки:
1) розподіл значень ознакXіYпо всій генеральній сукупності є нормальним (і завждибуде нормальним, хоча в кожного окремого об'єкта сукупності величина ознаки змінюється у часі), а дисперсії ознак невідомі;
2) розподілу значень ознакXтаYу генеральних сукупностях не є нормальними та дисперсії їх невідомі.
Умови суворої перевіркиН0 можна виконати з досить точністю. Нехай із генеральних сукупностейXтаYвилучені незалежні вибірки обсягівnіmі за цими вибірками знайдені вибіркові середні
Як критерій перевірки нульової гіпотезиН0 беруть випадкову величину
ВеличинаZрозподілена приблизно нормально з параметрамиM(Z) = 0 іσ(Z) = 1 , тому критичні точки перебувають у таблиці функції Лапласа Ф(x) (Додаток 3).
Побудова критичної області під час перевірки нульової гіпотези проводиться по-різному залежно від виду гіпотези, що суперечить.
В цьому випадку критична область є симетричною двосторонньою і визначається нерівностями:Zzкр. Критичну точкуzкрпри обраному рівні значимості α знаходять з рівності Ф(zкр) = (1- α)/2 по таблиці функції Лапласа. За вибірковими даними обчислюється те, що спостерігаєтьсязначення критерію
Zн=
Приклад 5.1.З генеральних сукупностейXтаYвилучені незалежні вибірки обсягівn= 50 таm= 70 Вибіркові середні виявилися рівними
Рішення. Спостережуване значення критерію дорівнює
Zн=
Критичну точкуzкрдвосторонньої критичної області знаходимо з рівності
Ф(zкр) = (1-α)/2 =
За таблицею функції Лапласа (Додаток 3) знаходимо, щоzкр= 2,58. Оскільки виявилося, щоZнM(Y).
В цьому випадку критична область є правосторонньою і визначається нерівністюZzкр. Критичну точкуzкрпри вибраному рівні значимості α знаходять з рівності Ф(zкр) = (1- 2α)/2 по таблиці функції Лапласа. За вибірковими даними обчислюється значення критерію, що спостерігається
Zн=
Приклад 5.2.З генеральних сукупностейXтаYвилучені незалежні вибірки обсягівn= 40 таm= 50 Вибіркові середні виявилися рівними
Рішення. Спостережуване значеннякритерія одно
Zн=
Критичну точкуzкрправосторонньої критичної області знаходимо за допомогою рівності
Ф(zкр) = (1-2α)/2 =
З цієї рівності за таблицею функції Лапласа знаходимо, щоzкр= 1,645. ОскількиZн>zкр, то нульова гіпотеза відкидається.Е
3. Нульова гіпотезаН0 :M(X) =M(Y) , що суперечить гіпотезаН1 :M(X) -zкр, то немає підстав відкинути нульову гіпотезу.
Нульова гіпотезаН0 :M(X) =M(Y) може бути виражена інакше. Оскільки вибіркові середні є незміщеними оцінками генеральних середніх, тобтоM(X) =M(
Н0:M(
Це означає, що перевірка гіпотези про рівність двох генеральних середніх дорівнює перевірці гіпотези про рівність математичних очікувань вибіркових середніх.
Вибіркові середні практично завжди виявляються не рівними один одному. Але якщо виявиться, що немає підстав відкинути нульову гіпотезуН0 :M(X) =M(Y) про рівність генеральних середніх, то відмінність вибіркових середніх єнезначнимі пояснюється не природою об'єктів, що вивчаються, а просто випадковим відбором об'єктів вибірки. Якщо ж нульова гіпотеза відкидається, тобто. генеральні середні не рівні один одному, то відмінність вибіркових середніх єзначнимі головна причина цього є дійсна відмінність властивостей об'єктів, що вивчаються, а неминуча випадковість відбору при складанні вибірки граєдругорядну роль.