Брахістохрона в центральному полі

Завдання про брахистохроні в центральному полі тяжіння є модифікацією класичної задачі про брахистохрон (короткий, час), запропонованої в 1696р. Йоганном Бернуллі і яка зіграла велику роль у розвитку варіаційного обчислення.

1. Класичне завдання про брахістохрон

У цьому випадку часT=T[y( . )], необхідний матеріальній точці для руху вздовж кривої, яка є графіком функціїy=y(x) (x[0,x1]), виражається такою формулою:

(g- прискорення вільного падіння). Сформульована проблема призводить до дослідження на екстремум функціоналуT[y( . )] .

2. Постановка задачі про брахистохрон у центральному полі тяжіння

деr- відстань від точки до центру тяжіння. Дослідження даної задачі та виведення функціоналу часу руху зручно проводити у полярній системі координат, причому без обмеження спільності можна спростити постановку задачі. Розглянемо центральне поле тяжіння на площині з центром у точціO. Нехай на площині дано колоBрадіусуr0 з центром у точціO. Розглянемо дві точкиP,QB, причомуPB. Введемо полярну систему координат (r) з центром у точціOтак, щоб точкаPмала координати (0,r0) . Нехай точкаQмає координати (r1) (r1r0) (рис.2).

Рис.2 Для простотиприпустимо, що розглядаються тільки такі криві, які є графіками функційr, деr([0, 2) [0,r0])C1([0, 2)), причому функціяrповинна задовольняти граничній умові

3. Виведення функціоналу часу руху

Виходитимемо із закону збереження енергії

Отже, закон збереження енергії має вигляд:

звідки за допомогою простих перетворень отримуємо, що

Диференціал дуги у полярній системі координат виражається формулою

яку можна записати у вигляді

Інтегруючи, отримуємо функціонал

Таким чином, сформульована задача про брахистохрон у центральному полі тяжіння призводить до дослідження на мінімум функціоналуT[r( . )]. Для знаходження мінімуму функціоналуT[r( . )] має сенс застосовувати чисельні методи.

На рис.3 зображено поле оптимальних траєкторій для r0 = r1 = 1 , побудоване чисельне.

4. Ізохрони

Ведуться роботи

На рис.4 зображені ізохрони – лінії рівного оптимального часу.

У створенні цієї сторінки брала участь студентка УрДУ Камнєва Л.В.

---