Десять рішень одного завдання – презентація з Геометрії
ГЕОМЕТРІЯ Десять рішень одного завдання Історія Авторська сторінка
Усі розв'язання задач можна поділити на 2 групи1. Рішення, отруєні отрутою цивілізації (так дотепно висловлювався легендарний викладач РДПІ А.М. Кауфман щодо вирішення деяких завдань). 2. Збірні рішення Оскільки сума кутів зірки дорівнює ста вісімдесяти градусам, треба подумки зібрати їх у трикутник, або в розгорнутий кут або – цілком фантастичне рішення – спроектувати кути на колі.
10 рішень Рішення 1 Рішення 2 рішення 3 рішення 4 рішення 5 рішення 6 рішення 7 рішення 8 рішення 8 рішення 9 рішення 10
Рішення 1Якщо із суми кутів п'яти трикутників NPC, PQD, RQE, AMR, BMN відняти суму зовнішніх кутів п'ятикутника MNPQR, взятих по два, то вийде сума кутів п'ятикутної зірки, яка чисельно дорівнює 180° · 5 - 360°
Рішення 2Розглянемо п'ятикутник ABCDE. Сума кутів зірки дорівнює сумі кутів п'ятикутника ABCDE мінус сума кутів трикутників BNC, CPD, EQD, ARE, AMB плюс сума внутрішніх кутів п'ятикутника MNPQR. Тобто 180 ° · 3 - 180 ° · 5 + 180 ° · 3 = 180 ° Рідко зустрічається таке природне рішення. Якщо є зірка, то мають бути й промені.
Рішення 3З'єднаємо точку O, взяту всередині зірки, з її вершинами. Сума кутів зірки дорівнюватиме сумі кутів трикутників OBD, OCE, OAD, OBE, OAC мінус два повні кути при вершині O. 180° 5 - 360° 2 = 180°
Рішення 4Зберемо кути зірки в трикутник NCP. Кут C вже знаходиться в трикутнику, а A + D = CNP, B + E = CPN Тут і надалі використовується теорема про зовнішній кут трикутника.
Рішення 5Розглянемо трикутник ACE, кути A, C і E вже знаходяться всередині трикутника, а B + D = CAE + CEA
Рішення 6Збираємокути зірки в трикутник ARE. B + D = RAE + REA, ARE = A + C + E
Рішення 7Збираємо всі кути в повний кут при вершині D. Кут D вже знаходиться там. Покажемо, що PDQ = A + B + C + E. Ця рівність кутів випливає з наступних трьох рівностей: PDQ = A + ANP, ANP = B + BMN, BMN = C + E
Рішення 8Через точку R проведемо пряму LT паралельну BD. Тоді D = LRA, B = ERT, ARE = A + C + E Склавши всі три рівності, отримаємо A + B + C + D + E = 180 °
Рішення 9Це фантастичне рішення належить І.Ф. Шаригіну. Опишемо навколо зірки коло і спроектуємо кути на це коло. Скористаємося теоремою: кут із вершиною всередині кола вимірюється напівсумою двох дуг, одна з яких розташована всередині цього кута, а інша – усередині кута, вертикального до цього. Отримаємо A + B + C + D + E = 360 °: 2 = 180 °
Рішення 10 Проведемо коло так, щоб воно перетинало сторони всіх кутів зірки. Скористаємося теоремою: кут, вершина якого розташована поза колом, а кожна зі сторін перетинає коло у двох точках, вимірюється напіврізністю дуг ув'язнених усередині кута. При підрахунку суми кутів кожна з дуг враховуватиметься або зі знаком «+» або зі знаком «–». Тобто сума кутів зірки дорівнює 180 °
Презентацію готували учні 10 класу Нахабінської ЗОШ №2: Мишуков Павло Дякуємо за допомогу та підтримку: вчителеві інформатики Алексакову Ніну Володимирівну вчителі математики Горьомікіну Майю Валентинівну