Ї функції та їх похідні

Значення функції у точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум та мінімум функції називають її екстремумом.

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо точці N0(x0;y0) диференційована функція z=f(x,y) має екстремум, її приватні похідні у цій точці дорівнюють нулю: f'x(x0;y0)=0, f'y=(x0; y0) = 0.

Точка у якій приватні похідні першого порядку функції z=f(x,y) дорівнюють нулю, тобто. f'x=0, f'y=0, називається стаціонарною точкою функції z (або точкою можливого екстремуму). Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна приватна похідна не існує, називається критичними точками. У критичних точках функція може мати екстремуму, а може мати. Рівність нуля приватних похідних є необхідною, але недостатньою умовою існування екстремуму. Для знаходження екстремумів функції у цій галузі необхідно критичну точку функції піддати додатковому дослідженню.

36.Достатні умови екстремуму функції двох змінних.

Нехай функція z = f (x, y) визначена в деякій ділянці D, точка N0 (x0; y0) D. Точка N0(x0;y0) називається точкою максимуму функції z=f(x,y), якщо існує δ - околиця точки N0(x0;y0), що для кожної точки (x,y), відмінної від N0(x0;y0) ), з цієї околиці виконується нерівність f(x, y)0; y0). Аналогічно визначається точка мінімуму функції, тобто. якщо виконується нерівність f(x,y)>f(x0;y0), то N0(x0;y0) - точка мінімуму.

Теорема 2 (достатні умови екстремуму). Нехай у стаціонарній точці N0(x0;y0) та деякому її околиці функція f(x,y) має безперервні приватні похідні до другогопорядку включно. Обчислимо в точці N0(x0; y0) значення A = f'x'x (x0; y0), B = f'x'y (x0; y0), C = f'y'y (x0; y0) Позначимо . Тоді:

1. Якщо Δ>0, то функція f(x,y) у точці N0(x0;y0) має екстремум: максимум, якщо A 0.

Калькулятор

Сервіс безкоштовної оцінки вартості роботи

Заповніть заявку. Фахівці розрахують вартість вашої роботи
Розрахунок вартості прийде на пошту та по СМС

Номер вашої заявки

Зараз на пошту прийде автоматичний лист-підтвердження з інформацією про заявку.