Ілюстрований самовчитель зMathematica 3
Основні поняття лінійної алгебри
Масиви, переважно у вигляді векторів і матриць, широко застосовуються під час вирішення завдань лінійної алгебри. Перш ніж перейти до розгляду можливостей Mathematica щодо вирішення таких завдань, розглянемо короткі визначення, що стосуються лінійної алгебри.
Матриця - прямокутна двовимірна таблиця, що містить m рядків і n стовпців елементів, кожен з яких може бути представлений числом, константою, змінною, символьним або математичним виразом (розширювальне трактування матриці).
Квадратна матриця - матриця, у якої число рядків m дорівнює числу стовпців n. Приклад квадратної матриці розміром 3x3:
Сингулярна (вироджена)матриця - квадратна матриця, у якої детермінант (визначник) дорівнює 0. Така матриця зазвичай не спрощується при символьних обчисленнях. Лінійні рівняння із майже сингулярними матрицями можуть давати великі похибки при вирішенні.
Одинична матриця - це квадратна матриця, у якої діагональні елементів дорівнюють 1, а інші елементи дорівнюють 0. Нижче представлена одинична матриця розміром 4x4:
| 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| E | = | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
Транспонована матриця - квадратна матриця, у якої стовпці та рядки змінюються місцями. Наведемо найпростіший приклад.
| a | b | c | ||
| A | = | d | e | f |
| i | k | l |
| a | d | i | ||
| А т | = | b | e | k |
| c | f | l |
Зворотна матриця - це матриця М-1, яка, будучи помноженою на вихідну квадратну матрицю М, дає одиничну матрицю Е.
Ступенева форма матриці відповідає умовам, коли перший ненульовий елемент у кожному рядку є 1 і перший ненульовий елемент кожного рядка з'являється праворуч від першого ненульового елемента в попередньому рядку, тобто всі елементи нижче першого ненульового в рядку – нулі.
Діагональ матриці – розташовані діагонально елементи А., матриці А. У наведеній нижче матриці елементи діагоналі представлені великими літерами:
| A | b | c | ||
| А | = | d | E | f |
| i | k | L |
Зазвичай зазначену діагональ називають головною діагоналлю – для матриці А, наведеної вище, це діагональ з елементами А, Е та L. Іноді вводять поняття піддіагоналей (елементи d і k) та наддіагоналей (елементи b до f).
Ранг матриці - найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів квадратної матриці.
Слід матриці – сума діагональних елементів квадратної матриці. Визначник матриці – це багаточлен від елементів квадратної матриці, кожен член якого є добутком елементів, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця зі знаком твору, заданим парністю перестановок:
Де M – визначник матриці порядку n-1, отриманої з матриці А викреслюванням першого рядка та j стовпця. У такому вигляді визначник (він детермінант) легко отримати в символьних обчисленнях. У чисельних розрахунках ми маємо на увазіпід визначником чисельне значення цього багаточлена.
Матриця цілою мірою – квадратна матриця у ступені п (п – ціле невід'ємне число), яка визначається наступним чином: М° = Е, М 1 = М, М 2 = М*М,…, Мn = М n-1 -М .
- Ідемпотентна матриця - матриця, що відповідає умові Р 2 = Р.
- Інволютивна матриця - матриця, що відповідає умові I 2 = Е.
- Симетрична матриця - матриця, що відповідає умові А т = А.
- Кососиметрична матриця - матриця, що відповідає умові А т = - А.
- Ортогональна матриця - матриця, що відповідає умові А т = А-1.
- Комплексно-сполучена матриця - матриця А, отримана з вихідної матриці А заміною її елементів на комплексно-сполучені.
- Ермітова матриця - матриця А, що задовольняє умові А = А.
- Власний вектор квадратної матриці А - будь-який вектор х е V n , х не дорівнює 0, що задовольняє рівняння Ах = gx, де g - деяке число, яке називається власним значенням матриці А.
- Характеристичний многочлен матриці - визначник різниці цієї матриці та одиничної матриці, помножений на змінну многочлена - А - g Е.
- Власні значення матриці - коріння її характеристичного багаточлена.
- Норма - узагальнене поняття абсолютної величини числа. Норма тривимірного вектора x – його довжина. Норма матриці – значення sup(Ax/x). I-норма матриці А – число
- Матрична форма запису системи лінійних рівнянь - вираз А-Х = В, де А - матриця коефіцієнтів системи, X - вектор невідомих, і В - вектор вільних членів. Один із способів вирішення такої системи очевидний - X = А -1, де А -1 - зворотна матриця.