Каші (аль-Каші) Джимшид ібн Масуд
З книги Л. Ф. Пічуріна "За сторінками підручника алгебри": "Улугбек (1394 - 1449) - середньоазіатський державний діяч і вчений, побудував обсерваторію, виклав теоритичні основи астрономії, склав з великою точністю каталог положень 1018 зірок. Улугбек – знаменитий узбецький астроном та математик, онук Тимура, еміра та полководця. При народженні йому надали ім'я Мухаммед Тарагай. Згодом він отримав прізвисько Улугбек (Великий хан), що перетворилося на його власне ім'я. У 15 років Улугбек було оголошено правителем Самарканда. Під час свого 40-річного правління він зробив не більше 2-3 військових походів і лише з оборонною метою.
У Самарканді Улугбек медресе (школу) та обсерваторію, обладнану за останнім словом тогочасної техніки. В обсерваторії він працював у співпраці із запрошеними ним астрономами, які утворили свого роду вчене суспільство. Одним із його членів був аль-Каші – винахідник наближеного методу розв'язання кубічних рівнянь виду (у сучасних позначеннях):
Найважливішим результатом наукових праць Улугбека та його співробітників було складання астрономічних таблиць. Чудове введення до них містить багато цікавих та важливих роз'яснень щодо способів спостережень та обчислень. Так, у ньому говориться, що для складання таблиці синусів і тангенсів достатньо знати синус кута
У працях Самаркандськоїшколи обчислювальна математика країн Сходу досягла найвищого розквіту. Проте ця школа проіснувала недовго. Цілком залежна від свого покровителя, вона розпалася після організованого реакційними колами вбивства Улугбека.
*Математика у школі №5, 1967 р.
* Енциклопедія для дітей/Математика.
Обчислення з простими дробами стає дуже громіздкими, якщо знаменники їх скільки-небудь великі. Головне утруднення полягає у привиді дробів до спільного знаменника; воно випливає з того, що знаменники можуть бути будь-якими числами, у виборі яких немає системи. Тому вже в давнину дійшли думки вибирати не довільно, а систематично частки одиниці (які в простих дробах грають роль знаменників). Найдавнішими систематичними дробами, що вживалися у Вавилоні за 4000 років до нашого часу і перейшли через давньогрецькі астрономи до астрономів.
У науки і промисловості, сільському господарстві десяткові дроби використовуються значно частіше, ніж звичайні. Це з простотою правил обчислень з десятковими дробами, схожістю їх у правила дій із натуральними числами.
Правила роботи з десятковими дробами описав знаменитий вчений середньовіччя аль-Каші Джемшид Ібн Масуд, який працював на той час в обсерваторії Улугбека. Аль-Каші записував десяткові дроби так само, як прийнято зараз, але він не користувався комою: дробову частину він записував червоним чорнилом або відокремлював вертикальною рисою.
Але про це в Європі на той час не дізналися, і лише через 150 років десяткові дроби були заново винайдені фламандським інженером та вченим Симоном Стевіном. Стевін записував десяткові дроби досить складно. Наприклад, число 24,56
виглядало так: 24 0 5 1 6 2 або 2 4 5 6 – замість коми нуль у гуртку,цифрами 1, 2, 3, … позначалося становище інших символів. До цього були використані шістдесяткові дроби. Наприкінці ХҮІ століття, коли складні обчислення з дробами стали широко застосовуватися в усіх сферах життя, почали вживати десяткові дроби. У них одиниця ділиться на десять часток (десяті), кожна десята частка знову на десять часток (соті) і т. д. Кома або точка для визначення цілої частини стали використовуватися з ХҮІІ століття.
* Енциклопедія для дітей / Математика / видавничий центр "Авонта", 1998
* Завдання, які тепер за допомогою тригонометричних функцій, виникли давно. Особливо серйозні вимоги до вміння вирішувати такі завдання у давнину пред'являла астрономія. Астрономів цікавили співвідношення між сторонами і кутами сферичних трикутників, складених з великих колів, що лежали на сфері дуг. Вони непогано справлялися з складнішими завданнями, ніж завдання «вирішення» плоских трикутників.
Замість таблиць тригонометричних функцій древні математики становили таблиці довжин хорд, що стягують дуги заданої довжини. Найраніші такі таблиці, складені грецькими математиками ще в ІІІ – ІІ століттях до нашої ери, не дійшли до нас. Найбільш давні таблиці довжин хорд, що збереглися, були складені в Олександрії астрономом Птолемеєм (ІІ столітті до нашої ери). Вони містять довжини хорд кола з кроком. Довжини хорд записані у вигляді тризначних шістдесяткових дробів, тобто у вигляді
Де a, в, с – цілі числа від 0 до 59.
Тригонометричні функції як відношення довжин відрізків, проведених в колі, зустрічаються в індійських та арабських математиків - Х століть. Індійський математик Аріабхата (кінець Ү ст.) знав формули для синуса, косинуса та тангенса половинного кута, які служили йому дляобчислення таблиць цих функций.
Вперше обчислення заздалегідь заданою точністю успішно виконав середньовічний арабомовний математик і астроном ібн Масуд аль-Каші Впевнений у тому, що небесне склепіння має діаметр, рівний 600000 діаметрам Землі, аль-Каші задався метою обчислити довжину його кола з точністю менше товщини. близько 0,06 мм. Спочатку вчений з'ясував, що правильний 805 306 369 - косинець, вписаний в коло настільки більшого діаметру, має периметр, відмінний від її довжини менш ніж на половину волосся. Потім він дуже точно визначив бік і периметр 805 306 369 - косинця, обчисливши таким чином 17 правильних десяткових знаків числа
Аль-Каші оперував числами, записаними у 18 розрядах шістдесяткової системи, і кожну операцію перевіряв 2 – 3 рази. Цей великий обчислювач виконав справді титанічну роботу.
Він виявляє велике мистецтво при виконанні обчислень, яке можна порівняти з тим, чого досягли європейці наприкінці ХҮІ століття. Він вирішував рівняння третього ступеня за допомогою ітерації і тригонометричним методом, знав цей метод вирішення загальних рівнянь алгебри вищих ступенів, який тепер носить ім'я Горнера і узагальнює метод вилучення коренів вищого порядку зі звичайних чисел (тут ймовірно китайський вплив). У його працях ми знаходимо формулу бінома для будь-яких позитивних показників. Поряд із шістдесятковими дробами він застосовує десяткові дроби з комою (наприклад, 25,07, помножене на 14,3, записується як 358,501), а число було відоме Каші з 16 десятковими знаками.
Освоєння та переробка численних джерел, і підготовка кваліфікованих математиків зажадали, зрозуміло, чимало часу. Тому арабської математики характерна деяка багатоплановість,строкатість у постановці завдань, методах їх вирішення і навіть у символіці. Система математики, що складається під настільки різноманітними впливами, отримала так багато оригінальних рис, що зробилася якісно відмінною від своїх джерел.
У обчислювальній практиці арабомовних народів рівноправно діяли обидві системи числення: десяткова абсолютна та шістдесяткова система числення. Перша була запозичена з Індії не пізніше 11 століття нашої ери і швидко набула широкого поширення. З арифметичного трактату Хорезмі (ІХ столітті) «Про індійські числа», переведеного в ХІІ столітті латинською мовою, десяткова система стала відома в Європі. Паралельно з десятковою, зберігалася і регулярно вживалася в астрономічних обсерваторіях успадкована від вавилонян шестидесяткова система числення. У дусі математиків стародавнього Вавилону складалися і використовувалися допоміжні таблиці на кшталт таблиці множення (від ). Навіть у порівняно пізній час (близько 1427 року) в обсерваторії узбецького хана астронома Улугбека під Самаркандом знаходилися у використанні як десяткова, так і шістдесяткова система. Для зручності обчислень розроблено правила перекладу з однієї системи до іншої. Регулярні правила існували для обчислень з дробами: простими та десятковими.
Існує дуже багато способів вирішення завдання, яке, як ви знаєте, називається вилученням кореня. Відомі вони з давніх-давен, і це зрозуміло - людям ще дуже давно доводилося вирішувати завдання про визначення сторони квадрата, що має дану площу. Для сучасної людини найпростіший спосіб - взяти калькулятор і, залежно від точності, що дається їм, отримати наближене значення кореня. Можна обійтися і без калькулятора, взявши таблиці коріння та знайшовши в нихцікавить нас наближення. Наприклад, за таблицею В. М. Брадіса, якими користуємося, виходить коріння з точністю до чотирьох знаків. Для практичних потреб такої точності цілком достатньо. А якщо ніяких приладів немає, таблиць теж немає? Чи, найголовніше, ви хочете знати не результати кимось зроблених обчислень, наприклад, зроблених упорядником таблиці, і не те, що виходить на підставі якогось алгоритму, закладеного в калькулятор, а вас зацікавили самі методи обчислень, сам алгоритм? В арсеналі арабських математиків накопичилося багато обчислювальних прийомів та спеціальних алгоритмів.
Отримані до 17 вірних знаків числа
Наближене вилучення коренів. Відомий у давнину прийом , де Т – ціле, був поширений до ХҮстоліття (Каші) на будь-який випадок натурального показника кореня. Основою цього прийому було лінійне интерполирование, тобто. міркування типу:
.
Очевидно, від індіанців було сприйнято правило
Поширення подібних прийомів наближеного вилучення коренів відзначено в Європі лише з середини ХІ століття.