Книга Наочна геометрія та топологія
ні (евклідові) симплекси, але їх всілякі гомеоморфні образи, тобто. образи прямолінійного симплексу при гомеоморфізмах. Такі гомеоморфні образи симплексу називаються типологічними, або криволінійними симлексами. Наприклад, розглянемо стандартний тетраедр, вписаний у сферу, тобто розташований усередині сфери так, що всі його вершини лежать на сфері. Тоді центр тетраедра збігається з центром сфери Проектуючи ребра тетраедра з центру сфери на сферу, отримуємо на ній криволінійні трикутники - образи рівносторонніх граней тетраедра (рис. 9) Отже, сфера розбивається в об'єднання чотирьох криволінійних трикутників гомеоморфних
Полн»ври Снмплнпналані номпленси Гомпвгвн
Мал. 9 показаний процес перетворення прямолінійного трикутника на криволінійний. Тут також зображені криволінійні одновимірні, двовимірні та тривимірні симплекси Таким чином, на кожному криволінійному симплексі є вершини, криволінійні грані та ребра З криво. лінійних симплексів можна становити значно більший запас об'єктів, ніж з прямолінійних опуклих симплексів.
У той же час кожен криволінійний симплекс «пам'ятає» своє походження з прямолінійного симплексу. Для цього можна було б фіксувати який-небудь конкретний гомеоморфізм прямолінійного симплекса на криволінійний. якому прообрази точок криволінійних симплексів (що належать прямолінійним симплексам) перекладаються один в одного лінійним відображенням відповіднихпрямолінійних симп-лексів
ьк нолналрм. Сммвлмцмнаані попре»делена
співала»прон. Сммплмпналивм номплиси
З симплексів можна складати складніші об'єкти, фігури Нехай деяка безліч До точок евклідового простору (або, більш загально, так зване «топологічний простір») представлено у вигляді об'єднання кінцевого чи лічильного чис. ла криволінійних симплексів розмірностей від нуля до деякого п. Іншими словами, безліч Х «склеєно» з криволінійних симплексів.
юклідоаа простору. До мво!кеству симплексое покриєшавош Х, долиши
ть всі трави впш сиіплексів. Просати будемо вважати в дальвеіш, що число симплексів, що покривають безліч Х, ханаана. Накладаюа тепер прості і природні обмеження на укаеавкое розбиття.
Будемо гаеорій, що криволінійні симпіекси утворюють кінцеве а»винчнвльноо !Оаэйвшл» множини Х, якщо еіполвевйдеа умови:
1) симплексів кінцеве число і кшкдел точка юпікества Х потрапляє в деякий симпіекс (покрита деяке
2) два симплекси або взагалі ве пе-
каютсл (ве мають общшс точок), ліодів з них є третю друтього, або ові їм» від загальну грань, лалявзцуеэся перетином таких симплексів.
Разом з кожним симп'яексом у Х зідерться і його межі.
На рис. 10 показані всі варіанти взаємного розполокування двовимірних симплексое. На рис. 11 еобразсеви ієкоторьш "запршценвьші
Кек вже зазначалося, з кожним кішеолівеновим симіле до сом природно зв'язується деяке відповідне топологічне отбршкевіє на вето прмолюшйного симпіексу. В цьому випадкувувво чітко уявивши собі умову, за симплекса мають,
р, бщ р. Щоб при склеюванні двох симплексів по загальній траві в одну і ту !ку точку мнозсестаа Х переходили такі точки граней прамолівейових симплексів, ко-
торил віднесені дсит доуту при лннсйнаш зображуванні одному грані ва іншу. Іншими словами, склеюванню топологічних симплексів (гранів) повинна відповідати склеювання саатеетасе1шлцвх прямолінійних симплексів (гранів) за віком!
Якщо деяка безліч точок евклідова простору (більш загЬ, тополотвчсський простір) ртебвсо іа сиплексы так, по юшолвени 1сазаввые умови 1 і 2, то таке юпкество назвемо нож»арої. Одне і те ж «ноя»» або яєїк можна нМвенамт Ісійаїь б обмани»в» шааиийилакаоб, що посиливракакційних умов 1 і 2. Якщо
роэаяо якесь одне таке рівні, то будемо гозорспь, що вем дано ш»нсмрашнсм ешбі»й ааннасо яаж»фо або даючи ш»слнцжлльнмв ханіасхс. Друпа і словами, симпліційний комплекс - це безліч всіх симплексів (і їх граней) даного свєбієвія поліедра, причому вказано, як саме склеєні ці симплекси. У одного! а і того! ке поліедра мо!кст бути багато різних снмпліціальних рае бій, т. е. один і той!
Для спрощення обчислень, ми будемо іноді розглядати реешевію пр
стравстеа на симплекси, яким дозволяється мати кілька загальних граней (у тому числі вершин). Більш того, для обчислення груп симпліціальних гомологій мо!кно користуватися клст-