Композиція (множення) перетворень-визначення, fkn antitotal

Primary tabs

Для того щоб ввести поняття групи перетворень, необхідно ввести поняття композиції (або множення) двох перетворень.

Композиція перетворень – визначення

Нехай $$ A:M\to M,\ B:M\to M. $$ Під перетворенням $ AB$ (їх композицією) ми матимемо на увазі перетворення $ $ (m)AB=\left( (m)A \right)B,\ \forall m\in M. $$

Якщо перетворення $A$ переводить елемент $m$ безлічі $M$ у $m'$ , а перетворення $B$ перекладає $m'$ у $m''$, то $AB$ переводить $m$ у $m'' $.

У визначенні вище ми не використовували жодного знака для композиції (за аналогією з тим, як опускають на листі знак множення), але можна і позначити композицію, наприклад, зірочкою $*$: Якщо $A: m \longmapsto m'$ і $B: m' \longmapsto m''$, $A*B: m \longmapsto m''$.

Тобто, з визначення вище отримуємо: $(m)AB = m''$, що еквівалентно двом діям: $(m)A = m'$ і потім уже $(m')B = m ''$

Виходить, що у разі композиції перетворень до елемента (аргументу композиції перетворень) спочатку застосовується те перетворення, яке стоїть ліворуч (ближче до аргументу), а потім уже те (/ті), що знаходяться правіше.

Тут порядок прямування перетворень записи композиції (зліва направо) визначає порядок їх застосування до аргументу.

Не варто плутати із ситуацією $ A(B(m)),$ оскільки в цьому записі до аргументу спочатку буде застосовано перетворення $B$.

Примушуючи елемент $ m $ пробігати все безліч $ M $, ми тим самим цілком визначимо перетворення $ AB $ - тобто задамо відповідність між кожним елементом з $ M $ і результатом застосування до нього перетворення, а тому можна говорити про те,що перетворення визначено.

Далі розглянемо кілька прикладів.

Приклади композиції перетворень

Приклад 1

Нехай у нас є два перетворення,заданих таким чином: Перетворення $ A:$ $ x_1 \rightarrow x_2$ $x_2 \rightarrow x_3$ $ x_3 \rightarrow x_1$ Перетворення $\ B:$ $\ x_1 \rightarrow x_1$ $ x_2 \rightarrow x_3$ $ x_3 \rightarrow x_2$ Тоді перетворення $AB$ встановлюється такою відповідністю (за визначенням вище): $ x_1 \rightarrow x_3$ $ x_2 \rightarrow x_2$ $ x_3 \rightarrow x_1$

Важливо зауважити, що результат множення (=застосування композиції перетворень до елемента множини) залежить від порядку проходження перетворень у композиції, наприклад, композиція $BA$ відрізняється від $AB$ і задається такою відповідністю: $ x_1 \rightarrow x_2$ $ x_2 \rightarrow x_1$ $ x_3 \rightarrow x_3$ У цьому випадку (коли $ BA \neq AB$ ) кажуть, що група не підпорядковується комутативному закону.

Приклад 2

Нехай перетворення A переводить змінну $ x$ у $ x + a$, а перетворення $ B$ переводить $ x$ у $ x + b$. Тоді $AB$ переводить $x$ у $(x + a) + b = x + (a + b)$. Тут $AB = BA$, а тому група називається комутативною абоабелевой.

---