Конспект уроку з геометрії в 10 класі з поглибленим вивченням математики з теми «Тригранний кут

Конспект уроку з геометрії в 10 класі з поглибленим вивченням математики.

Тема:«Тригранний кут. Теорема косінусів для тригранного кута».

Мета уроку.Засвоїти поняття тригранного кута, теорему косінусів для тригранного кута. Формувати прийоми суттєвих зв'язків, вивчати шукати ідею доказу. Розвивати просторову уяву, вміння раціонального заучування матеріалу (виділення головного, зв'язків, відносин). Виховувати потребу в самовдосконаленні, прагнення самопізнання. Показати зв'язок геометрії із життям.

Устаткування.Стереометричний ящик. Моделі багатогранників.

Тип уроку.Засвоєння нових знань.

I.Перевірка домашнього завданняу зошитах здійснюється консультантами до початку уроку.

Повторюємо відомі нам поняття, які необхідні вивчення сьогоднішньої теми:

1. Визначення двогранного кута, його граней, ребра.

2. Визначення плоского опуклого кута.

3. Визначення лінійного кута двогранного кута.

4. Незалежність міри двогранного кута від вибору лінійного кута (всі лінійні кути двогранного кута поєднуються паралельним переносом, отже, рівні).

5. Теорема про три косинуси.

6. Теорема косінусів для трикутника.

III. Мотивація навчальної діяльності.

Тригранні, чотиригранні, багатогранні кути так само, як і двогранні, є елементами багатьох стереометричних фігур. Їх можна спостерігати в навколишньому світі (у кімнаті: тригранний кут, наприклад, що має як грані сусідністіни та стеля; тригранний кут мають шафи, ящики, телевізори, холодильники тощо); багатогранні кути відомі були ще в давнину (при вершині Єгипетських пірамід - чотиригранний кут; при основах - тригранні кути); багатогранні кути містять усі монокристали (наприклад, монокристал кухонної солі містить двогранні та тригранні кути, так само, як і монокристали кремнію та алмазу, відомі з курсу фізики та хімії, що складаються з елементарних кристалічних осередків, які мають форму тетраедра). Знання виду багатогранних кутів і властивостей кристалів важливе, наприклад, у металургії, напівпровідниках виробництві, в ювелірній справі при ограновуванні дорогоцінного каміння тощо.

4.1. Повідомляється тема уроку та дидактична мета.

4.2. Розглянемо найпростіші з багатогранних кутів – тригранні кути.

Побудувати (отже, і конструктивно визначити) тригранний кут можна так.

Візьмемо будь-які три променіa,в,с, що мають загальний початок т.Оі не лежать в одній площині (див. рис .1). Ці промені є сторонами трьох опуклих плоских кутів: кута α зі сторонамив,с, кута β зі сторонамиа,ста кута γ зі сторонамиа,в.

Об'єднання цих трьох кутів α, β, γ називається тригранним кутомОавс(або, коротше, тригранним кутомО).

На партах стоять моделі стереометричних фігур. Учні знаходять багатогранні кути та показують їх один одному, вчителю).

Променіа,в,сназиваються ребрами тригранного кутаОавс; плоскі кути α, β, γ - гранями, а т.О- вершиноюОавс.

При кожному з ребер тригранного кута визначається відповідний двогранний кут, такий, ребро якого міститьвідповідне ребро тригранного кута, а грані якого містять грані тригранного кута, що прилягають до цього ребра.

Величини двогранних кутів тригранного кутаОавспри ребраха,в,свідповідно позначатимемоа,в,з.

Три грані α, β, γ тригранного кутаОавсі три його двогранних кута при ребраха,в,са також величини α , β, γ іа,в,зназвемо елементами тригранного кута.

4.3.Наше завдання:виразити одні елементи тригранного кута через інші його елементи, тобто побудувати «тригонометрію» тригранних кутів.

Почнемо з виведення теореми косінусів.

Розглянемо такий тригранний кут, у якого хоча б дві грані, наприклад, α і β, є гострими кутами (див. рис.2). Візьмемо на його ребрі з точкуСі побудуємо двогранний кутсвершиною в т.С(проведемо з т.Су гранях α і β перпендикуляриСВіСАдо ребра до перетину з ребрамиаівв т.Аі т.В)

Теорема косінусів для тригранного кута:

cos γ = cos α · cos β + sin α · sin β · cos c

Розглянемо ∆АВС. За теоремою косінусів:

AB² = AC² + BC²- 2AC · BC·сос с.(1)

Розглянемо ∆АВО. За теоремою косінусів:

AB² = AO² + BO² - 2АТ · ВО·соs γ.(2)

Прирівнюючи (1) та (2), отримаємо:

AC² + BC² - 2АС · ВС · соs з = AO ²+ BO² - 2АО · ВО · соs γ.(3)

Виразимо з (3)соs γ:

γ = (AO² + BO² - AC² - BC² + AC·BC·cos c)÷(2OA·OB).(4)

Застосуємо теорему Піфагора для прямокутних трикутниківАВСіВОСі відповідноотримаємо:

Підставимо отримані рівності (4) і перетворимо його:

cos γ = (OC÷OA)·(OC÷OB) + (AC÷OA)·(BC÷OB)·cos c.(5)

Оскільки OC÷OA = cosβ, OC÷OB = cos α, AC÷OA = sin β , BC÷OB = sin α , то (5) можна представити у вигляді:

cos γ = cos α · cos β + sin α · sin β · cos c. (6)

У разі, якщо двогранний кутcпрямий, тосоs з= 0 і з (6) отримаємо:

cos γ = cos α · cos β. (7)

Рівність (7) є теоремою Піфагора для тригранного кута («прямокутного»). Інакше ця рівність називається теоремою про три косинуси.

4.4Самостійне «відкриття» (формулювання) теореми(Сума всіх плоских кутів багатогранного кута

---