Кореляційна функція
1) У випадкових процесах визначає статистичну зв'язок між значеннями змінюються у часі та/або просторі фізичних величин макроскопічної системи.
Випадкові зміни деякої скалярної фізичної величини (наприклад, струму електричного ланцюга) можна описувати функцією ξ(t). Найпростіша тимчасова кореляційна функція цього процесу визначається як
Тут кутові дужки означають усереднення ансамблю реалізацій, ‹ξ(t)› - середнє значення функції ξ(t). Аналітичний вираз для кореляційної функції можна отримати, знаючи двовимірну функцію розподілу густини ймовірності w2 (ξ1, ξ2):
Для стаціонарних випадкових процесів ‹ξ(t)› не залежить від часу [для простоти вважатимемо ‹ξ(t)› = 0], а кореляційну функцію R(t1, t2) = R (τ = t2 - t1) = R( -τ) є парною функцією різниці часів. Стаціонарними випадковими процесами є флуктуації фізичних величин, які у системі, що у рівноважних умовах; такі умови реалізуються у багатьох експериментальних ситуаціях. Максимальне значення кореляційна функція R(τ) має τ = 0; це значення, що дорівнює R(0) = σ 2 називається дисперсією випадкового процесу. При збільшенні статистична залежність між ξ(t) і ξ(t + τ) стає все слабшою і R(∞) = 0. Характерний інтервал часу, при якому відбувається помітний спад значення кореляційної функції в кілька разів, прийнято називати часом кореляції. Кореляційна функція безпосередньо пов'язана зі спектром флуктуацій G(ω) співвідношенням Вінера – Хінчина: R(τ) = ∫ G(ω)e i ωt dt (ω – частота флуктуацій). У реальних ситуаціях усереднення по набору всіляких реалізацій випадкового процесу часто можна замінити тимчасовим усередненням по одній реалізації за інтервал часу, досить великийпорівняно з часом кореляції. Випадкові процеси, які мають цю властивість, називають ергодичними.
Поряд з кореляційною функцією (1) часто використовують багатовимірні (або багатоточкові) кореляційні функції, що залежать більш ніж від двох моментів часу:
Багатовимірні кореляційні функції парного порядку (порядок визначається числом співмножників) Гаусівського випадкового процесу виражаються через різні парні кореляційні функції (1). Так, у кореляційній спектроскопії (спектроскопії розсіяного світла) застосовують кореляційні функції інтенсивності світла (кореляційні функції четвертого порядку поля), яка визначається кореляційною функцією другого порядку (1).
Зв'язок флуктуацій векторних та тензорних величин (наприклад, флуктуації швидкості турбулентного потоку та тензора діелектричної проникності середовища) описують за допомогою кореляційної матриці. Так, кореляційна матриця Bjk напруженості електричного поля Е світлової хвилі має вигляд:
Тут Ej(t) – комплексні функції, Е = Re Е; j, k = х, у, z - компоненти поля в декартових координатах. Діагональні елементи матриці є середні інтенсивності, а недіагональні елементи залежать від амплітуд і фаз компонент поля. Кореляційну матрицю (4) розміром 2х2, елементи якої розраховані для ортогональних компонентів електричного поля в площині, перпендикулярній напряму поширення світлової хвилі, називають матрицею когерентності.
Флуктуації величин за простором характеризуються просторовими кореляційними функціями, наприклад:
де ξ(r) – випадкове тривимірне поле. У цьому випадкове полі статистично однорідно, якщо кореляційна функція R(r1,r2) = R(ρ=r2-r1). Якщо ж R(ρ) залежить лише від модуля ρ, то однорідневипадкове поле статистично ізотропне у просторі. Характерний масштаб суттєвого зменшення кореляційної функції у просторі називають радіусом кореляції. Тимчасова (1) та просторова (5) кореляційні функції є окремими випадками просторово-часової кореляційної функції, що характеризує зв'язок флуктуацій фізичних величин у просторі та в часі. Проте, окремий розгляд флуктуацій фізичних величин у часі та просторі у багатьох випадках адекватно описує експеримент.
У квантової теорії стан полів зручно описувати ермітової матрицею (оператором щільності) р, на яку її слід (сума діагональних елементів) дорівнює одиниці. Суто квантові властивості полів можуть виявлятися в квантових кореляційних функціях порядку вище за другий. Так, ефект антигрупування фотонів виявлено при вимірі функції кореляційної інтенсивності (кореляційна функція четвертого порядку). Некласичні, квантові кореляції яскраво проявляються в переплутаних квантових станах (дивися Квантова оптика) та порушення нерівності Белла (дивись Квантові парадокси).
2) У статистичній фізиці кореляційна функція визначає статистичний зв'язок між положенням частинок (атомів, іонів, молекул).
Для опису положення частинок у просторі використовують функції розподілу їх змінних: одночасткову функцію f1(r,р) (r – просторова координата, р – імпульс частинки), двочастинну f2(r1, р1; r2, р2) тощо, які також характеризують статистичну зв'язок частинок. Від цих функцій можна перейти до функцій f1(r), f2(r1,r2) тощо. (Наприклад, інтегруючи по імпульсах), які називаються кореляційними функціями. Величина f2(r1,r2)d 3 r1d 3 r2 пов'язана з ймовірністю виявлення однієї частинки з координатою r1обсязі d 3 r1 та іншої частинки з координатою r2 в обсязі d 3 r2. Функція f2(r1,r2) визначає просторову кореляційну функцію флуктуації густини середовища. Для частинок, що невзаємодіють між собою, f2(r1,r2) = f1(r1)f1(r2). Тому безпосередньо кореляцію частинок характеризує функція g(r1,r2) = f2(r1,r2) - f1(r1)f1(r2), яка називається парною кореляційною функцією. Значення g(r1,r2) визначається потенціалом взаємодії сусідніх частинок; при g(r1, r2) = 0 положення частинок статистично незалежні. Парна кореляційна функція має особливе значення, оскільки у разі зв'язку частинок, що залежить тільки від їх відстані, вдається отримати рівняння стану та енергію фізичної системи. У випадку функції f1, f2, f3, . задовольняють ланцюжку рівнянь, що зачіплює (Боголюбова ланцюжку рівнянь), рішення якого досить складно. Тому її обривають і роблять замкненою, з певних фізичних припущень.
Квантовим аналогом кореляційної функції в статистичній фізиці є матриця щільності, отримана взяттям сліду від матриці щільності всієї системи змінних частинок, що виключаються з розгляду. Властивості такої матриці щільності залежать від статистики частинок (Бозе – Ейнштейна або Фермі – Дірака).
Літ.: Ісіхара А. Статистична фізика. М., 1973; Ритов С. М., Кравцов Ю. А., Татарський Ст І. Введення в статистичну радіофізику. М., 1978. Ч. 2: Випадкові поля; Ахманов С. А., Дьяков Ю. Є., Чиркін А. С. Введення в статистичну радіофізику та оптику. М., 1981; Клімонтович Ю. Л. Статистична фізика. М., 1982; Ландау Л. Д., Ліфшиц Ε. М. Статистична фізика. 5-те вид. М., 2001.