Лекція №6 Тема Зародження та розвиток тригонометрії
1.1. Зародження та розвиток тригонометрії.
1.2. Сферична тригонометрія.
1.3. Тригонометрія у Європі до Ейлера.
1.4. Внесок Ейлера у розвиток тригонометрії.
1.5. Послідовники Ейлера у розвитку тригонометрії.
1.1. ЗАРОДЖЕННЯ І РОЗВИТОК ТРИГОНОМЕТРІЇ.
Тригонометрія виникла і розвивалася в давнину як один із розділів астрономії, як її обчислювальний апарат, який відповідає практичним потребам людини.
Тригонометрія – слово грецьке і в буквальному перекладі означає вимірювання трикутників (trigwnon – трикутник, а metrew – вимірюваю).
У разі вимірювання трикутників слід розуміти як рішення трикутників, тобто. визначення сторін, кутів та інших елементів трикутника, якщо дані деякі з них. Велика кількість практичних завдань, а також задач планіметрії, стереометрії, астрономії та інших приводяться до вирішення трикутників.
Виникнення тригонометрії пов'язане із землеміром, астрономією та будівельною справою. Хоча назва науки виникла порівняно недавно, багато понять і факти, що зараз відносяться до тригонометрії, були відомі ще 2000 років тому.
Вперше способи розв'язання трикутників, засновані на залежностях між сторонами та кутами трикутника, були знайдені давньогрецькими астрономами Гіппархом (2 ст. до н. е.) та Клавдієм Птолемеєм (2 ст. н. е.). Пізніше залежність між відносинами сторін трикутника та його кутами почали називати тригонометричними функціями.
Значний внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські вчені Аль-Батані (850-929) та Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), який склав таблиці синусів та тангенсів через 10'з точністю до 1/60 4 . Теорему синусів вжезнали індійський вчений Бхаскара (нар. 1114, рік смерті невідомий) та азербайджанський астроном і математик Насіреддін Тусі Мухамед (1201-1274). Крім того, Насіреддін Тусі у своїй роботі «Трактат про повного чотиристоронника» виклав плоску та сферичну тригонометрію як самостійну дисципліну.
Тривалу історію має синус. Фактично різні відносини відрізків трикутника та кола (а по суті, і тригонометричні функції) зустрічаються вже в III столітті до н.е. у працях великих математиків Стародавню Грецію – Евкліда, Архімеда, Аполлонія Пергського. У римський період ці відносини систематично досліджувалися Менелаєм (Iвек н.е.), хоча й не набули спеціальної назви. Сучасний синус, наприклад, вивчався як напівхорда, яку спирається центральний кут величиною, чи як хорда подвоєної дуги.
Слово косинус набагато молодше. Косинус - це скорочення латинського виразу completelysinus, тобто "додатковий синус" (або інакше "синус додаткової дуги"; cos = sin (90-)).
Тангенси виникли у зв'язку з розв'язанням задачі щодо визначення довжини тіні. Тангенс (а також котангенс) введений у Xстолітті арабським математиком Абу-ль-Вафою, який склав і перші таблиці для знаходження тангенсів та котангенсів. Однак ці відкриття довгий час залишалися невідомими європейським вченим, і тангенси були заново відкриті лише в XIV столітті німецьким математиком, астрономом Регімонтаном (1467). Він довів теорему тангенсів. Регіомонтан склав також докладні тригонометричні таблиці; завдяки його працям плоска та сферична тригонометрія стала самостійною дисципліною і в Європі.
Назва «тангенс», що походить від латинського tanger(торкатися), з'явилася в 1583 р. Tangensперекладається як «дотик»до одиничного кола).
Подальший розвиток тригонометрія отримала у працях видатних астрономів Миколи Коперника (1473-1543) – творця геліоцентричної системи світу, Тихо Браге (1546-1601) та Йоганна Кеплера (1571-1630), а також у роботах математика Франсуа Вієта (1) який повністю вирішив задачу визначення всіх елементів плоского або сферичного трикутника за трьома даними.
Тривалий час тригонометрія мала чисто геометричний характер, т. е. Факти, які ми зараз формулюємо в термінах тригонометричних функцій, формулювалися і доводилися за допомогою геометричних понять і тверджень. Такою вона була ще в середні віки, хоча іноді в ній використовувалися і аналітичні методи, особливо після появи логарифмів. Мабуть, найбільші стимули до розвитку тригонометрії виникали у зв'язку з розв'язанням задач астрономії, що становило великий практичний інтерес (наприклад, на вирішення завдань визначення місцезнаходження судна, передбачення затемнення тощо. буд.). Астрономів цікавили співвідношення між сторонами та кутами сферичних трикутників. І треба зауважити, що математики давнини вдало справлялися з поставленими завданнями.
Починаючи з XVII ст., тригонометричні функції почали застосовувати до вирішення рівнянь, задач механіки, оптики, електрики, радіотехніки, для опису коливальних процесів, поширення хвиль, руху різних механізмів, для вивчення змінного електричного струму і т. д. Тому тригонометричні функції всебічно і глибоко досліджувалися, і набули важливого значення для всієї математики.
Аналітична теорія тригонометричних функцій в основному була створена видатним математиком XVIII століття Леонардом Ейлером (1707-1783) членом Петербурзької Академії наук. Величезна наукова спадщинаЕйлера включає блискучі результати, що стосуються математичного аналізу, геометрії, теорії чисел, механіки та інших програм математики. Саме Ейлер першим запровадив відомі визначення тригонометричних функцій, став розглядати функції довільного кута, отримав формули наведення. Після Ейлера тригонометрія набула форми обчислення: різні факти стали доводитися шляхом формального застосування формул тригонометрії, докази стали набагато компактнішими,
Таким чином, тригонометрія, що виникла як наука про розв'язання трикутників, згодом розвинулася і в науку про тригонометричні функції.
1.2. СФЕРИЧНА ТРИГОНОМЕТРІЯ.
Сферична тригонометрія – розділ тригонометрії, в якому вивчаються залежності між величинами кутів та довжинами сторін сферичних трикутників. Застосовується для вирішення різних геодезичних та астрономічних завдань.
Основи сферичної тригонометрії були закладені грецьким математиком та астрономом Гіппархом у II столітті до н. е. Важливий внесок у її розвиток зробили такі античні вчені, як Менелай Олександрійський та Клавдій Птолемей. Сферична тригонометрія древніх греків спиралася застосування теореми Менелая до повного четырехстороннику сфері. Давньогрецькі математики викладали умову теореми Менелая не мовою відносин синусів, але мовою відносин хорд. На виконання необхідних розрахунків застосовувалися таблиці хорд, аналогічні наступним таблицям синусів.
Як самостійна дисципліна сферична тригонометрія сформувалася на роботах середньовічних математиків країн ісламу. Найбільший внесок у її розвиток у цю епоху зробили такі вчені, як Сабіт ібн Корра, Ібн Ірак, Куш'яр ібн Лаббан, Абу-л-Вафа, ал-Біруні, Джабір ібн Афлах, ал-Джайяні, Насір ад-Дін ат-Тусі. У їхніх роботах буливведено основні тригонометричні функції, сформульовано та доведено сферичну теорему синусів та ряд інших теорем, що застосовувалися в астрономічних та геодезичних розрахунках, ведено поняття полярного трикутника, що дозволяло обчислювати сторони сферичного трикутника за трьома його кутами.
Історія сферичної тригонометрії у Європі пов'язані з працями таких вчених, як Регіомонтан, Микола Коперник, Франческо Мавролико.
Заміна хорд синусами стала головним досягненням Середньовічної Індії. Така заміна дозволила вводити різні функції, пов'язані зі сторонами та кутами прямокутного трикутника. Таким чином, в Індії було започатковано тригонометрію як вчення про тригонометричні величини.
Індійські вчені користувалися різними тригонометричними співвідношеннями. Тригонометрія необхідна астрономічних розрахунків, які оформляються як таблиць. Перша таблиця синусів є у «Сурья-сиддханте» і в Аріабхати. Пізніше вчені склали докладніші таблиці: наприклад, Бхаскара наводить таблицю синусів через 1°.
Південноіндійські математики в 16 столітті досягали великих успіхів у сфері підсумовування нескінченних числових рядів. Очевидно, вони займалися цими дослідженнями, коли шукали способи обчислення точніших значень числа π. Нікаланта словесно наводить правила розкладання арктангенса в нескінченний статечний ряд. А в анонімному трактаті «Каранападдхаті» («Техніка обчислень») дано правила розкладання синуса та косинуса в нескінченні статечні ряди. Треба сказати, що у Європі до подібних результатів підійшли лише 17-18 ст. Так, ряди для синуса і косинуса вивів Ісаак Ньютон близько 1666, а ряд арктангенса був знайдений Дж. Грегорі в 1671 і Г. В. Лейбніцем в 1673.
У 8 ст. вчені країн Близького та СередньогоСходу познайомилися з працями індійських математиків та астрономів і переклали їх арабською мовою. У середині 9 століття середньоазіатський учений аль-Хорезмі написав твір «Про індійський рахунок». Після того як арабські трактати були перекладені латиною, багато ідей індійських математиків стали надбанням європейської, а потім і світової науки.