лекція N4

ab==-32i+10j+9k

ab==

S=1/2 × ≈17,4 (од. 2).

Визначення: змішаним твором трьох векторівa, b, cназивається добуток виду (ab) ×c ,де два перші вектори перемножуються векторно, які добуток множаться скалярно на третій вектор.

Змішане твір – величина скалярна, оскільки остання дія – скалярне множення.

Абсолютна величина змішаного твору некомпланарних векторівa, b, cдорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, причому знак його залежить від орієнтації цих векторів: якщоa, b, c утворюють праву трійку, їх змішаний твір буде позитивно, для лівої ж трійки – негативно.

Властивості змішаного твору.

1. Змішаний твір не змінюється:

1)якщо вектори, що перемножуються, переставляти в круговому порядку: (ab) ×c>=(bc) ×a=(ca) ×b

2)якщо поміняти місцями знаки векторного та скалярного множення:(ab) ×c=a ×(bc),тому можна записатиabc

1. Перестановка у змішаному творі будь-яких двох векторів змінює лише його знак:acb = - abc; bac = - abc; cba = - abc.
2. Змішаний твір звертається в нуль, якщо

1) хоча б один з векторів, що перемножуються, є нуль-вектор;

2) два з векторів, що перемножуються, колінеарні;

3) три вектори, що перемножуються, компланарні.

Обчислення змішаного твору

трьох векторів, розкладених по ортах

a=axi+ ayj+ azk;b=bxi+ byj+ bzk;c= cxi+ cyj+ czk;тоabc=

У цьому можна переконатися, розклавши визначник елементами першого рядка.

чотиригранної піраміди (тетраедр)

Обсяг такої піраміди дорівнює одній шостій обсягу паралелепіпеда, побудованого на його ребрах, що сходяться в одній вершині. А обсяг цього паралелепіпеда – абсолютна величина змішаного добутку трьох векторів, загальний початок яких знаходиться в одній із вершин піраміди, а кінці – в решті трьох її вершин. Якщо вершинами піраміди служать точкиM 1, M 2, M 3, M 4, то вважаючиa=M 1 M 2;b = M 1 M 3;c = M 1 M 4,отримаємоV =1/6[abc]

Умова компланарності трьох векторів.

Три векториa, b, cкомпланарні тоді і тільки тоді, коли їх змішаний твір дорівнює нулю:abc=0або =0.

Повертаючись від геометричних просторів до векторних, усвідомлюємо, що вектором розмірностіn(абоn -мірним вектором) називається впорядкована сукупність зnчисел поляP. Якщоа– вектор, визначений числамиа1, а2,…, а n– координатами вектора, то писатимемоa=(a 1, a 2, ..., an). Якщо векториaіbрозмірностіnзадані своїми координатами:a=(a 1, a 2,…, an),b=(b 1, b 2,…, bn), то сумою цих векторів називається векторa + b=(a 1+ b 1, a2+ b 2, ..., an + bn).

Добутком вектораана числоlз поляPназивається вектор lа= (l а1, l а2, ..., l а n).

Визначення.Багато всіхn-мірних векторів, для яких встановлені операції складання та множення на число, називаютьсяарифметичним векторним просторомі позначаютьсяRn. Розмірність просторуRnпозначається dimRn. Лінійний простір, ізоморфний просторуRn, називається кінцевим. У просторіRnіснуєnлінійно незалежнихn-вимірних векторів, при цьому будь-якіn +1вектори лінійно залежні.

Визначення.Базисомn-мірного векторного простору називають будь-яку сукупність, що складається зnлінійно незалежних векторів цього простору.

Теорема 1.Для того, щоб системаnвекторів просторуRnстановила базис, необхідно і достатньо, щоб визначник, складений з координат цих векторів, був відмінний від нуля .

Визначення.Якщо вn-мірному лінійному векторному просторі визначено скалярне твір і воно має такі властивості:

4)a × a>0, якщоa¹ 0топростір називається n -мірним евклідовим - Е n .

Скалярний добуток будь-якогоaÎEnназивається скалярним квадратомa. Довжиноюaв евклідовому просторі називається квадратний корінь із скалярного квадрата цього вектора. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається нормованим . Якщоa– ненульовий вектор, тоє нормованим вектором. Для будь-яких двох векторівaіbв евклідовому просторі виконується нерівність:( a × b ) 2 £ ( a × a )( b × b ),називаєтьсянерівністю Коші-Буняковського.

Справедлива наступнатеорема: у кожному евклідовому просторі є ортогональний базис. Якщо ортогональний базис складається з нормованих векторів, цей базис називається ортонормованим. Для ортонормованого базисуe 1, e 2. enвиконуються рівності

(ei × ek)=

Якщо вn-мірному евклідовому просторі відомий якийсь базисf 1, f 2,…, fn, то в цьому просторі завжди можна знайти і ортонормований базисe 1, e 2,…, en.

Довжина вектораxзнаходиться за формулоюx=.

Кут між двома векторамиxіyперебуває за формулоюcos j =.

У наступних завданнях ортонормований базисn-мірного евклідового простору позначається черезe 1, e 2,…, en .

---