Матеріали для PDF - Прийняття рішень - 25-29
Правило, за яким стратегія рішень вибирається так, щоб мінімізувати середній ризик, називаєтьсякритерієм(абостратегією) Байєса.Застосування подібного критерію особливо доцільно в тому випадку, коли необхідно приймати багаторазово рішення в однакових умов.
Мінімізація середнього ризику матиме місце у тому випадку, якщо гіпотезаH1приймається тоді, коли виміряне значенняXлежить в області R1,а якщо в області R2, то приймається гіпотезаH2.
Байєсівська стратегія забезпечує мінімальне значення середнього ризику, який називається,байсовськимризиком(Bayes risk).
Байєсівська стратегія може бути описана за допомогою наступних співвідношень.
Нехай в результаті досвіду встановлено, що ознака об'єкта, що розпізнається, становить величинуХ0.Тоді умовна ймовірність приналежності цього об'єкта до першого класу або, інакше кажучи, умовна ймовірність првой гіпотези дорівнює
Умовний ризик, пов'язаний з вибором гіпотезиH1, дорівнюватиме
а умовний ризик при виборі гіпотези //2 дорівнюватиме
Система розпізнавання, що базується на байєсівській стратегії, має вирішувати завдання з мінімумом умовного ризику. Це означає, що перевагу першій гіпотезі слід віддавати у разі, коли
Отже, перша гіпотеза має прийматися тоді, коли
Таким чином, байєс підхід до вирішення завдання розпізнавання полягає у обчисленні умовних апостеріорних ймовірностей та прийняття рішення на підставі порівняння їх величин.
Якщо число класів більше двох і дорівнюєт,то апостеріорна ймовірність віднесення об'єкта, що розпізнається, доi-го класу дорівнює
Існує іінша форма запису байесового критерію статистичного відмінності гіпотез (у разі - віднесення об'єкта до того чи іншого класу).
а можливість помилки другого роду, тобто. пропуску мети
Нехай, як і раніше, є два класи 1 і 2, апріорні ймовірності появи об'єктів цих класів рівні відповідноР(1)таР(2),і задані ваги або ціни помилок першогоC12=C1та другогоC21=C2роду, а C11=C22=0 . Нехай відомі також умовні густини розподілу ймовірностей значень ознак за класами,1(X1,…,XN)і2(X1,…,XN).Тоді можливість помилки першого роду, тобто. ймовірність помилкової тривоги, що дорівнює
Тут R1, R2 – області ознакового простору, в межах яких приймаються рішення про належність об'єктів до класів 1 та 2 відповідно.
Середня вартість ухвалення рішення
Так як інтеграл від щільності ймовірності по областях R 1 і R 2 дорівнює 1, то
Завдання у тому, щоб мінімізувати величину середнього ризику. Для цього необхідно так вибрати R1 і R2, щоб інтеграл прийняв найбільше негативне значення. Це досягається тоді, коли подинтегральное вираз приймає найбільше негативне значення і поза області R1 немає такої області, де подинтегральное вираз негативно, тобто.
Вирішальне правило, що забезпечує в середньому найменший ризик, полягає в наступному. Розпізнаваний об'єкт , ознаки якого, як встановлено в
в іншому випадку - до класу 2.
При побудові систем розпізнавання можливі ситуації, коли апріорні ймовірності появи об'єктів відповідних класів невідомі.Мінімізувати середній ризик прийняття рішень на основі стратегії байєсу в цьому випадку не можна. Щодо цієї ситуації раціонально використовувати такий критерій, який забезпечує мінімум максимального середнього ризику. Цей критерій отримав назвумінімаксногокритерію.
Суть мінімаксу полягає в тому, що рішення про належність невідомого об'єкта до відповідного класу приймається на основі байєсової стратегії, яка відповідає такому значеннюР(1),при якому середній ризик максимальний.
Покажемо перевагу мінімаксної стратегії порівняно з іншими можливими стратегіями, коли невідоміР(1),i=1,…,m.
За наявності двох класів величина середнього ризику, як відомо, дорівнює
НехайСдосягає свого найбільшого значення приР(1)=Р'(1), як це показано на малюнку.
Застосування критерію мінімаксу означає, що за відсутності даних про апріорні ймовірності появи об'єктів слід орієнтуватися на величинуР'(1).
Припустимо, що вибрано інше значенняР(1)=Р"(1).Тоді середні втрати будуть описуватися рівнянням прямої лінії, що стосується кривоїС=C(P(1))у точці А, що відповідаєР(1)=Р"(1).Рівняння дотичної має вигляд:
Так як байесова стратегія забезпечує мінімальний середній ризик, криваСлежить нижче прямої для всіх значеньР(1)Р"(1).
Продиференціюємо середній ризик поР(1)і отримаємо трансцендентне рівняння:
яке безпосередньо вирішується щодо точкиX0.
Алгоритм прийняттярішень, як і раніше, має такий вигляд:
Критичне значення коефіцієнта правдоподібності визначимо так:
Знаючи критичне значення коефіцієнта правдоподібності, стратегію прийняття рішення можна у наступному знайомому нам вигляді:
Таким чином, мінімаксна стратегія є байєсовою стратегією для найгірших значень апріорних ймовірностей, що дає хоч і обережну, але гарантовану величину середнього ризику.
У деяких системах розпізнавання можуть бути невідомі як апріорні ймовірності появи об'єктів відповідних класів, а й ціни помилок. У таких ситуаціях доцільно скористатися стратегією Неймана-Пірсона. Суть цієї стратегії полягає у наступному. Визначається припустиме значення ймовірності помилки першого роду Q1 (хибна тривога), а потім знаходяться такі рішення, при яких ймовірність помилки другого роду Q2 (перепустка цілі) мінімальні.
Отже, нехай з будь-яких міркувань прийнято, що Q1Х0помилка Q2 зростає. Вибрати жХ'0
Калькулятор
Сервіс безкоштовної оцінки вартості роботи
- Заповніть заявку. Фахівці розрахують вартість вашої роботи
- Розрахунок вартості прийде на пошту та по СМС
Номер вашої заявки
Зараз на пошту прийде автоматичний лист-підтвердження з інформацією про заявку.