МЕТОДИ ОТРИМАННЯ ДИСКРЕТНИХ АНАЛОГІВ
Відкидаючи члени обох рядів, починаючи з четвертого, віднімаючи та складаючи рівняння, отримуємо
Підставляючи ці висловлювання у диференціальне рівняння, можна отримати кінцево-різницеве рівняння.
У цьому методі передбачається, що зміна залежно від близько до поліноміального, так що вищими похідними можна знехтувати. Однак це припущення призводить до небажаних наслідків, наприклад, для експоненційної зміни. Висновок з допомогою рядів Тейлора порівняно простий, але менш гнучкий і сприяє розумінню фізичного сенсу членів рівняння.
Варіаційний метод.Інший метод отримання дискретних аналогів ґрунтується на варіаційному обчисленні.
У варіаційному обчисленні показано, що розв'язання даних диференціальних рівнянь еквівалентно мінімізації відповідної величини - функціоналу. Ця еквівалентність називається варіаційним принципом. Шуканий дискретний аналог виходить із умов мінімуму функціоналу щодо значень залежної змінної у вузлових точках. Варіаційний метод дуже часто використовується в кінцево-елементних методах дослідження напруги, де його можна пов'язати з принципом віртуальних переміщень. Крім математичної складності і труднощі розуміння основним недоліком методу є його обмежена застосовність, пов'язана з тим, що варіаційний принцип існує не для всіх диференціальних рівнянь, що представляють інтерес.
Метод зважених нев'язок.Ефективним методом розв'язання диференціальних рівнянь є метод зважених нев'язок. Основний підхід простий та цікавий. Уявимо диференціальне рівняння у вигляді
Припустимо, що наближене рішення має, наприклад, вигляд
де – невідомі параметри. Підставимо вдиференціальне рівняння (2.6) і виділимо нев'язку, яка дорівнює:
Ми хочемо зробити цей залишок у певному сенсі малим. Припустимо, що
де — вагова функція, а інтеграл береться по області, що розглядається. Вибираючи послідовність вагових функцій, можна отримати кількість рівнянь, достатню для знаходження параметрів. Вирішивши отриману систему рівнянь алгебри для невідомих параметрів, знайдемо наближене рішення диференціального рівняння. Вибираючи різні класи вагових функцій, можна отримати різні версії методу (назви, що мають свої).
Даний метод широко використовувався для вирішення рівнянь прикордонного шару, доки його майже не витіснив метод кінцевих різниць. Однак можна встановити його зв'язок з звичайно-різнисним методом, або, точніше, з методом дискретизації, якщо розглядати наближене рішення не у вигляді єдиної для всієї області алгебраїчної функції, а як шматковий профіль з невідомими параметрами, що є значеннями в вузлових точках. Дійсно, більшість недавніх розробок методу кінцевих елементів також заснована на застосуванні шматкових профілів у поєднанні з різновидом методу зважених нев'язок, відомої як метод Галеркіна.
Найпростішою ваговою функцією є. За допомогою такої функції можна в рамках даного методу побудувати систему рівнянь, розбиваючи розрахункову область на підобласті або контрольні обсяги і вибираючи як вагові функції, одночасно рівні одиниці в одній з підобластей і нулю у всіх інших. Цей варіант методу зважених нев'язок називається методом підобласті або методом контрольного обсягу. У ньому вважається, що інтеграл від нев'язки по кожному контрольному обсягу повинен дорівнювати нулю.
Метод контрольного обсягу.Часто в елементарних підручниках з теплообміну наводять висновок кінцево-різнисного рівняння за допомогою методу рядів Тейлора, а потім показують, що результуюче рівняння відповідає умові теплового балансу в невеликій області, що містить вузлову точку. Ми також бачили, що метод контрольного обсягу можна розглядати як окремий випадок методу зважених нев'язок. Основна ідея методу контрольного обсягу легко зрозуміла та піддається прямій фізичній інтерпретації. Розрахункову область розбивають на деяке число контрольних об'ємів, що не перетинаються, таким чином, що кожна вузлова точка міститься в одному контрольному об'ємі. Диференціальне рівняння інтегрують за кожним контрольним обсягом. Для обчислення інтегралів використовують шматкові профілі, які описують зміну між вузловими точками. В результаті знаходять дискретний аналог диференціального рівняння, який входять значення в декількох вузлових точках.
Отриманий подібним чином дискретний аналог виражає закон збереження кінцевого контрольного обсягу так само, як диференціальне рівняння виражає закон збереження для нескінченно малого контрольного обсягу. Однією з важливих властивостей методу контрольного обсягу є те, що в ньому закладено точне інтегральне збереження таких величин, як маса, кількість руху та енергія на будь-якій групі контрольних обсягів і, отже, на всій розрахунковій галузі. Ця властивість проявляється за будь-якого числа вузлових точок, а не тільки в граничному випадку дуже великого їх числа. Таким чином, навіть рішення на грубій сітці задовольняє точні інтегральні баланси.
Результат розв'язання дискретних рівнянь щодо значень у вузлових точках можна розглядати подвійно. У методі кінцевих елементів та більшості методів зваженихНев'язок як наближеного рішення береться передбачувана зміна, що складається зі значень у вузлових точках та інтерполяційних функцій (або профілів) між вузловими точками. Навпаки, у звичайно-різностному методі як рішення розглядаються лише значення у вузлових точках і не робиться жодних явних вказівок про характер зміни між цими точками. Ця ситуація нагадує лабораторний експеримент, в якому розподіл величини дається у вигляді виміряних значень деяких дискретних точках і не визначається її зміна в проміжках між цими точками. Ми також використовуємо цей підхід у методі контрольного обсягу і шукатимемо рішення у вигляді значень лише у вузлових точках. Інтерполяційні формули чи профілі розглядатимемо як допоміжні, необхідні розрахунку інтегралів. Після отримання дискретних аналогів припущення характер профілів можна не враховувати. Така думка дає повну свободу використання різних профілів для інтегрування різних членів диференціального рівняння.
Для більшої ясності застосуємо метод контрольного обсягу до простого завдання.
Розглянемо стаціонарне одновимірне завдання теплопровідності, що описується рівнянням
де - Коефіцієнт теплопровідності; - Температура; - Швидкість виділення теплоти в одиниці об'єму.
Підготовка.Для отримання дискретного аналога буде використано показане па рис. 2.2 розташування вузлових точок.
Рис. 2.2. Шаблон вузлових точок для одновимірного завдання
Мал. 2.3. Прості апроксимації профілів:
а - ступінчастий профіль; б - шматково-лінійний профіль
У центрі нашої уваги виявляється точка Р, оточена точками Е і W (Е - східна сторона, тобто напрямок вздовж осі ; W - західна сторона,тобто напрям, зворотний напрям осі). Штрихом показано межі контрольного обсягу; зараз нас не цікавить їхнє точне розташування. Ці межі позначені літерами е та w. Для аналізованої одновимірної задачі припустимо, що розміри контрольного обсягу у напрямах і дорівнюють одиниці. Таким чином, обсяг показаного контрольного обсягу дорівнює . Інтегруючи (2.10) за контрольним обсягом, отримуємо
Припущення про вид профілю.Зробимо тепер припущення про вид профілю або інтерполяційної формули. На рис. 2.3 показано два простих профілю. У найпростішому випадку передбачається, що значення в вузловій точці зберігається для всього контрольного об'єму, що її оточує. Це припущення призводить до показаного на рис. 2.3 а ступінчастому профілю. Для такого профілю похідна на межах контрольного обсягу (тобто у точках w або е) не визначена. Ця труднощі немає для кусочно-линейного профілю (рис. 2.3,6), в якого зміна між вузловими точками описується лінійними інтерполяційними функціями.
Дискретний аналог.Використавши для визначення в рівнянні (2.11) кусково-лінійний профіль, отримаємо
де - Середнє за контрольним обсягом значення. Корисно записати рівняння (2.12) у такому вигляді: