Методи вирішення задач математичного моделювання
Основні поняття математичного моделювання, характеристика етапів створення моделей завдань планування виробництва та транспортних завдань; аналітичний та програмний підходи до їх вирішення. Симплекс-метод розв'язання задач лінійного програмування.
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Розміщено на http://www.allbest.ru/
Вступ
Різні техніко-економічні та економічні виробничі завдання, починаючи від оптимального завантаження верстата та розкривання сталевого листа чи полотна тканини до аналізу міжгалузевого балансу та оцінки темпів зростання економіки країни загалом, призводять до необхідності вирішення тих чи інших завдань лінійного програмування.
На сьогоднішній день це є важливим інструментом економічного аналізу: дозволяє отримати чітке уявлення про стан підприємства, охарактеризувати та кількісно описати його внутрішню структуру та зовнішні зв'язки. Таким чином, економіко-математичне моделювання роботи підприємства, фірми, засноване на аналізі його діяльності, має збагачувати цей аналіз результатами та висновками, отриманими після вирішення відповідних завдань.
Часто експеримент із математичною моделлю може замінити реальний експеримент, який або занадто дорогий, або неможливий з тих чи інших причин. Все це дає вагому актуальність застосування задач лінійного програмування в сучасних економічних умовах.
Головною метою вирішення транспортного завдання є планування найбільш раціональних шляхів та способів транспортування товарів.
Транспорт відіграє виключно важливу роль в економіці будь-якої країни, забезпечуючи міжвиробничі зв'язки у різних галузях промисловості. У разі жорсткої конкуренції кожне підприємство змушене мінімізувати свої витрати, значну частину яких становить саме транспортні витрати.
Метою даної курсової є вивчення методів розв'язання задач математичного моделювання на прикладі задач планування виробництва та транспортної задачі.
Зпоставленої мети випливають такі завдання:
1. Вивчення теоретичної частини матеріалу.
2. Створення математичних моделей завдань планування виробництва та транспортних завдань
3. Розв'язання задачі планування виробництва аналітичним та програмним методами.
4. Розв'язання транспортного завдання різними методами та програмним способом.
1.1 Визначення основних понять математичного моделювання та характеристика етапів створення математичної моделі
Під моделюванням розуміють процес побудови, вивчення та застосування моделей.
Модель- це матеріальний тип або уявний об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт оригіналі.
Математичнамодель-математичний опис фізичного об'єкта процесу або явища, що виражає стан його внутрішньої динаміки взаємодії та властивості, це наближений опис будь-якого класу явищ, виражений за допомогою математичної символіки.
У математичних методах широко використовуються як аналітичні, так і статистичні моделі.
Аналітичнімоделібільш грубі, враховувати менше факторів, завжди вимагає якихось припущень і спрощень.
Статистичнімоделіпорівняно з аналітичними точніші і докладніші, не вимагають настільки грубих припущень, дозволяють врахувати більшу кількість факторів.
Операції- будь-який захід, система дій, об'єднаних єдиним задумом та напрямом до досягнення будь-якої мети. Операція є керованим заходом, тобто від заздрості, яким способом вибратидеякі параметри, що характеризують її організацію.
Дослідженняоперацій- сукупність прикладних математичних методів, що використовуються для вирішення практичних організаційних завдань.
Рішення-це будь-який певний набір залежних від нас параметрів.
Оптимальним-називається рішення, за тими чи іншими ознаками краще перед іншими.
Допустимимирішення-це рішення, що задовольняють системі обмежень і вимоги невід'ємності.
Допустимийплан-такий варіант плану, який задовольняє всім заданим обмеженням завдання, але не обов'язково оптимальний.
Оптимальнийплан- допустимий план, який відповідає умовам максимізації чи мінімізації (залежно від умови завдання).
Цільовафункція- функція змінних, яких залежить досягнення оптимального стану системи.
Математичнемоделювання- потужний метод вивчення зовнішнього світу, а також прогнозування та управління.
Процес математичного моделювання можна поділити на чотири етапи.
· Перший етап – формулювання законів, що пов'язують основні об'єкти моделі. Цей етап вимагає широкого знання фактів, що відносяться до явищ, що вивчаються, і глибокого проникнення в їх взаємозв'язку.
· Другий етап – дослідження математичних завдань, до яких приводять побудовані математичні моделі.
· Третій етап - з'ясування того, чи задовольняє прийнята гіпотетична модель критерію практики.
· Четвертий етап - подальший аналіз моделі у зв'язку з накопиченням даних про досліджувані явища та модернізацію моделі
Основні етапи математичногомоделювання
1)Побудовамоделі. На цьому етапі визначається деякий «нематематичний» об'єкт - явище природи, конструкція, економічний план, виробничий процес і т. д. При цьому, як правило, чіткий опис ситуації утруднено. Спочатку виявляються основні особливості явища та зв'язку між ними на якісному рівні. Потім знайдені якісні залежності формулюються мовою математики, тобто будується математична модель. Це найважча стадія моделювання.
2)Рішенняматематичноїзавдання,доякийнаводитьмодель. На цьому етапі велика увага приділяється розробці алгоритмів та чисельних методів вирішення задачі на ЕОМ, за допомогою яких результат може бути знайдений з необхідною точністю та за допустимий час.
3)Інтерпретаціяотриманихнаслідківзматематичноїмоделі.Наслідки, виведені з моделі мовою математики, інтерпретуються мовою, прийнятому у цій галузі.
На цьому етапі з'ясовується, чи узгоджуються результати експерименту з теоретичними наслідками з моделі в межах певної точності.
5)Модифікаціямоделі.На цьому етапі відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була більш адекватною дійсності, або її спрощення задля досягнення практично прийнятного рішення.
Класифікація моделей
Класифікувати моделі можна за різними критеріями. Наприклад, характером вирішуваних проблем моделі можуть бути поділені на функціональні та структурні. У першому випадку всі величини, що характеризують явище чи об'єкт, виражаютьсякількісно. При цьому одні з них розглядаються як незалежні змінні, інші - як функції від цих величин. Математична модель зазвичай є системою рівнянь різного типу (диференціальних, алгебраїчних тощо. буд.), встановлюють кількісні залежності між аналізованими величинами. У другому випадку модель характеризує структуру складного об'єкта, що складається з окремих частин, між якими існують певні зв'язки. Як правило, ці зв'язки не піддаються кількісному виміру. Для побудови таких моделей зручно використати теорію графів.
Граф- це математичний об'єкт, що є деякою кількістю точок (вершин) на площині чи просторі, деякі з яких з'єднані лініями (ребрами).
За характером вихідних даних та результатів передбачення моделі можуть бути поділені на детерміністичні та імовірнісно-статистичні. Моделі першого типу дають певні, однозначні прогнози. Моделі другого типу ґрунтуються на статистичній інформації, а передбачення, отримані за їх допомогою, мають ймовірнісний характер.
1.2 Характеристика типових завдань математичного моделювання та підходів до їх вирішення
Прямізавданнявідповідають питанням, що буде, якщо за заданих умов ми виберемо якесь рішення з безлічі допустимих рішень. Зокрема, чому дорівнюватиме, при обраному рішенні критерій ефективності.
Зворотнізавданнявідповідають питанням: як вибрати рішення з безлічі допустимих рішень, щоб критерій ефективності звертався максимум чи мінімум.
Якщо кількість допустимих варіантів рішення невелика, то можна обчислити критерій ефектності для кожного з них, порівняти отримані між собоюзначення та безпосередньо вказати один або кілька оптимальних варіантів. Такий спосіб знаходження оптимального рішення називається "простим перебором". Коли число допустимих варіантів рішення велике, пошук оптимального рішення простим перебором скрутний, а часто практично неможливий. У цих випадках застосовуються методи "спрямованого" перебору, що мають ту особливість, що оптимальне рішення знаходиться поруч послідовних спроб або наближень, з яких кожне наступне наближає нас до оптимального.
Моделі ухвалення оптимальних рішень відрізняються універсальністю. Їх можна класифікувати як завдання мінімізації (максимізації) критерію ефективності, компоненти якого задовольняють системі обмежень (рівностей та/або) нерівностей.
прийняття рішень за умов визначеності - вихідні дані -детерміновані; прийняття рішень за умов невизначеності - вихідні дані -випадковівеличини.