Нечітка логіка

Нечітка логіка(англ. fuzzy logic) - розділ математики, що є узагальненням класичної логіки і теорії множин, що базується на понятті нечіткої множини, вперше введеного Лотфі Заде в 1965 як об'єкта з функцією приналежності елемента значення в інтервалі [ 0 , 1 ] , а не лише 0 або 1 . На основі цього поняття вводяться різні логічні операції над нечіткими множинами і формулюється поняття лінгвістичної змінної, як значення якої виступають нечіткі множини.

Предметом нечіткої логіки вважається дослідження міркувань в умовах нечіткості, розмитості, подібних до міркувань у звичайному сенсі, та їх застосування в обчислювальних системах [1] .

Зміст

В даний час [] уточнити] існує, принаймні, два основні напрямки наукових досліджень у галузі нечіткої логіки:

нечітка логіка у сенсі (теорія наближених обчислень);
нечітка логіка у вузькому значенні (символічна нечітка логіка).

Символічна нечітка логіка

Символічна нечітка логіка ґрунтується на понятті t-норми. Після вибору деякої t-норми (а її можна ввести декількома різними способами) з'являється можливість визначити основні операції над змінними змінними: кон'юнкцію, диз'юнкцію, імплікацію, заперечення та інші.

Неважко довести теорему про те, що дистрибутивність, яка присутня в класичній логіці, виконується тільки у випадку, коли як t-норма вибирається t-норма Геделя [6] уточнити 7 .

Крім того, через певні причини, як імплікацію найчастіше вибирають операцію, звану residium (вона, взагалі кажучи, також залежить від вибору t-норми).

Визначення основних операцій, перелічених вище, призводить до формального визначення базисної нечіткої логіки, яка має багато спільного з класичною булевозначною логікою (точніше, з обчисленням висловлювань).

Існують три основні базові нечіткі логіки: логіка Лукасевича, логіка Геделя і імовірнісна логіка (англ. product logic). Цікаво, що об'єднання будь-яких двох із трьох перерахованих вище логік призводить до класичної булевозначної логіки.

Синтез функцій безперервної логіки заданих таблично

Функція нечіткої логіки Заде завжди набуває значення однієї з своїх аргументів чи його заперечення. Таким чином, функцію нечіткої логіки можна задати таблицею вибору [2] , в якій перелічені всі варіанти впорядкування аргументів та заперечень, і для кожного варіанта зазначено значення функції. Наприклад, рядок таблиці функції двох аргументів може мати такий вигляд:

Проте довільна таблиця вибору який завжди ставить функцію нечіткої логіки. У роботі [3] був сформульований критерій, що дозволяє встановити чи є функція, задана таблицею вибору, функцією нечіткої логіки та запропоновано простий алгоритм синтезу, заснований на введених концепціях конституент мінімуму та максимуму. Функція нечіткої логіки є диз'юнкцією конституент мінімуму, де конституента максимуму — це кон'юнкція змінних поточної області великих чи рівних значенню функції у цій галузі (право від значення функції у нерівності, включаючи значення функції). Наприклад, для зазначеного рядка таблиці конституенту мінімуму має вигляд x 2 x 2 x 1 >_>_> .

Теорія наближених обчислень

Основне поняття нечіткої логіки в широкому значенні - нечітка множина, що визначається за допомогою узагальненого поняття характеристичноїфункції. Потім вводяться поняття об'єднання, перетину та доповнення множин (через характеристичну функцію; задати можна різними способами), поняття нечіткого відношення, а також одне з найважливіших понять - поняття лінгвістичної змінної.

Взагалі кажучи, навіть такий мінімальний набір визначень дозволяє використовувати нечітку логіку в деяких додатках, для більшості необхідно задати ще й правило виведення (і оператор імплікації).

Нечітка логіка та нейронні мережі

Оскільки нечіткі множини описуються функціями приналежності, а t-норми і k-норми звичайними математичними операціями, можна уявити нечіткі логічні міркування як нейронної мережі. Для цього функції приналежності треба інтерпретувати як функції активації нейронів, передачу сигналів як зв'язку, а логічні t-норми та k-норми як спеціальні види нейронів, що виконують математичні відповідні операції. Існує велика різноманітність подібних нейро-нечітких мереж neuro-fuzzy network (англ.). Наприклад, ANFIS (Adaptive Neuro fuzzy Inference System) - адаптивна нейро-нечітка система виведення. [4] (англ.)

крім того, цією формулою можуть бути описані деякі види нейронних мереж, такі як радіально базисні мережі (RBF), багатошарові персептрони (MLP), а також вейвлети і сплайни.