Нормальний розподіл (Тема)
Нормальний розподіл відноситься до числа найбільш поширених і важливих, він часто використовується для наближеного опису багатьох випадкових явищ, наприклад, для випадкового відступу фактичного розміру виробу від номінального, розсіювання снарядів при артилерійській стрільбі і в багатьох інших ситуаціях, в яких на нас цікавить результат впливає велика кількість незалежних випадкових факторів, серед яких немає тих, що сильно виділяються.
Використання нормального розподілу для наближеного опису розподілів випадкових величин не перешкоджає тому, що ці величини зазвичай можуть приймати значення тільки з якогось обмеженого інтервалу (скажімо, розмір виробу повинен бути більше нуля і менше кілометра), а нормальний розподіл не зосереджено цілком ні на якому інтервалі. Справа в тому, що ймовірність великих відхилень нормальної випадкової величини від центру розподілу настільки мала, що її практично вважатимуться рівною нулю.
Визначення.Випадкова величинаξмає нормальний розподілрозподіл ймовірностей з параметрами а і σ 2 (коротке позначення:- ξ
N (а, σ 2 )), якщо її щільність розподілу задається формулою:
.
Безперервна випадкова величинаХприймає значення від -∞ до +∞. Сенс параметрів нормального розподілу наочно показаний нижче.
Мал. Щільність нормального розподілу із середнім μ=ата різними значеннями дисперсії σ 2
Зазначимо,що φ(x )прагне до нуля прих→-∞іх→+∞. Графік функції φ(x )симетричний щодо точкиа .При цьому в точціафункція φx )досягає свого максимуму,який дорівнює.
Параметрахарактеризує положення графіка функції на числовій осі (параметр положення). Параметр σ( σ 0) характеризує ступінь стиснення або розтягнення графіка щільності (параметр масштабу). Як бачимо,вся сукупність нормальних розподілів є двопараметричним сімейством.
Математичне очікування та дисперсія випадкової величини ξ , розподіленої якN (а, σ 2 ),рівні
,
.
Медіана нормального розподілу дорівнюєа,так як щільність розподілу симетрична щодо точких=а.
Особливу роль грає нормальне розподілення з параметрами а=0 і=1, тобто. розподілN(0,1), який часто називаютьстандартнимнормальним розподілом. Щільність стандартного нормального розподілу є
.
Функція розподілу стандартного нормального розподілу дорівнює
.
Функцію Ф(х) часто називають функцією Лапласа. Відмітимо, що
тому достатньо знати значення функціїФ(х)длях≥0. Ця властивість функціїФ(х)використовується при складанні таблиць.
Функцію довільного нормального розподілуN (a, σ 2 )можна легко виразити через Ф(х). Для цього слід зауважити, що якщо ξ розподілено згідно із закономN (a , σ 2 ),то її лінійна функціяX =( ξ -а)/ σ підкоряється стандартному нормальному розподілу. Тому
.
Ця формула дозволяє обчислювати ймовірність подій, пов'язаних з довільними нормальними випадковими величинами, за допомогою таблиць стандартного нормального розподілу.
Аналогічним чином, легко показати, що якщо ξ розподілено за нормальним законом, скажімо,N(a , σ 2 ),то випадкова величина kξ + b (лінійна функція ξ ) має нормальний розподілN (a +b ,k 2 σ 2 ).Нагадаємо, що площа фігури, обмежена графіком функції щільності розподілу, віссю абсцис і відрізками двох вертикальних прямих,х=b,х= с,є можливість потрапляння випадкової величини в інтервал ( b , с). У зв'язку з цим корисно уявити, як розподіляються частки площ між кривою φ(x )та віссю абсцис (рис. 4). Більш детальний аналіз показує, що випадкова величина N (0, 1) з ймовірністю приблизно дорівнює 0,94 потрапляє в інтервал (-2, 2), і з ймовірністю, приблизно рівною 0.9973 - в інтервал (-3, 3). Звідси для довільної нормально розподіленої випадкової величини можна сформулювати правило, іменоване в літературі правилом трьох сигм. А саме, нормальна випадкова величина N (2 )з ймовірністю 0.9973 потрапляє в інтервал (а-Зσ, а+Зσ ).
Мал. Зразковий розподіл площ під кривою функції щільності стандартного нормального розподілу
Для функціїФ(х)та її похідної, тобто. для густини стандартного нормального розподілу, існують численні таблиці різного ступеня подробиці. Для статистичних застосувань найчастіше виявляються корисними та бліци, які мають накопичену нормальну ймовірність, отсчитываемую праворуч, тобто. таблиці, в яких залежно відхвказані значення Р(ξ ≥х)=1–Ф < х).Таблиці подібного виду більш зручні у статистичній практиці, ніж таблиці дляФ(х).
Більшість збірників також наводять таблиці квантилей стандартного нормального розподілу. Вони дозволяють позаданого значення ймовірностір,0