НОРМУВАННЯ У безперервному спектрі

Отже, класичного фінітного руху відповідає в квантовій механіці стану з нормованими хвильовими функціями, які можна нормувати на 1, а енергетичний спектр є дискретним. Класичному інфінітному руху відповідають стани із узагальненими хвильовими функціями, які не можна нормувати, а енергетичний спектр є безперервним.

Виникає проблема нормування хвильових функцій безперервного спектра. Раніше ми їх нормували, і зазвичай так і роблять, на дельта-функцію. Однак цей прийом є досить формальним. Насправді ж спектр завжди є дискретним, оскільки розміри області локалізації частки обмежені хоча б стінками лабораторії. Щоправда, часто трапляється так, що L> l де L - розміри лабораторії, а l - розміри фізичної системи. Вплив стін виявляється дуже малим, і енергетичні рівні розташовані настільки тісно, що спектр неможливо відрізнити від безперервного. Адже в попередній задачі величина L 2 входила в знаменник E n , і чим вона більша, тим густіший спектр.

Але реальна фізична ситуація робить виправданою так зване «нормування в ящику», коли частка вважається обмеженою, хоча й більших розмірів у порівнянні з її власними розмірами. Отже, весь простір розбивається на ящики і частка садиться в один із них. Так як ящик великий, вплив стінок мало і на них можна поставити будь-які додаткові умови – умови Бору – Кишені – умови періодичності: потрібно, щоб хвильова частка повторювалася в кожному ящику. В одновимірному випадку це записується як

Від такої хвильової функції і потрібно, щоб

Розглянемо як приклад знову вільну частинку з рівнянням Шредінгера

- i 2 /2 m  y RR = E y

з хвильовими функціями

y(x) = A e i/i px; E = p 2 /2 m , ,

(Імпульс суворо визначений). Накладаємо умову періодичності:

A e i / i p ( x + L ) = A e i / i px

e i / i pL = 1 = pL / I = 2 p n , n  Z .

Отримуємо дискретний ряд значень для імпульсу та енергії:

p n = 2 p i / L  n , E n = 2 p 2 i 2 n 2 / m L 2 .

При великих L спектр виявляється практично безперервним, а нормувальна константа

Це виходить так само, як у задачі про частинку в ямі, де нормувальна константа якраз і була рівною

(Двійки тепер немає тому, що трошки інші граничні умови - не нульові, а періодичні).

РУХ ЧАСТИНИ В ПЕРІОДІЧНОМУ ПОЛІ

Розглянемо дуже важливе для фізики твердого тіла, а значить і для фізики низьких температур, завдання про рух частки в періодичному полі з потенціалом

n = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3

причому a 1, a 2 , a 3 - трійка некомпланарних векторів, а n 1 , n 2 , n 3 - довільна трійка цілих чисел. Нас цікавлять стаціонарні статки та енергетичний спектр (загальні закономірності), тобто. треба досліджувати стаціонарне рівняння Шредінгера

Раніше ми запроваджували одномірний оператор трансляції

який діє так:

(a) y(x) = y(x + a)

-1 ( a )() ( a ) = (  ), ( + = 1 Þ + = -1 ).

Його узагальнення на тривимірний випадок очевидне:

причому тут як n обрано вже вектор трансляції, яким є періодичність. Для потенціалу маємо:

-1 (n) V(r)(n) = V(r - n) = V(r),

V (r) (n) = (n) V (r),

тобто. оператор трансляції комутує з V(r):

Крім того, він комутує з (це завжди - див вище):

і тому операторпороджує інтеграл руху.

З цієї причини можуть бути обрані загальні власні функції операторів і , тобто. стаціонарні стани будуть характеризуватись не тільки значеннями енергії, а й власними значеннями оператора трансляції:

y(r) = t(n) y(r).

Застосуємо до цього рівняння оператор:

y (r) = t * (n) t (n) y (r).

Але так як = , то ліворуч стоїть просто y , а тому

тобто. t (n) є якийсь фазовий множник (це наслідок унітарності):

t(n) = ei/iqn.

Величина q називається квазіімпульсом (зі зрозумілих причин). На відміну від звичайного імпульсу, квазіімпульс визначено неоднозначно. Можна зробити заміну

а k – довільне ціле число.

Зручно перейти до функцій Блоха

y ( r ) = e i / i qr U q ( r ) ,

які можна як плоскі хвилі (з точністю до зробленого зауваження), модульовані функцією U q ( r ). Покажемо, що функція U q (r) є періодичною з періодом потенціалу. З визначення маємо

y ( r ) = y ( r + n ) = e i / i q ( r + n ) U q ( r + n ) .

З іншого боку, оскільки y (r) - власна функція, то

y ( r ) = t ( n ) y ( r ) = e i / i qn y ( r ) = e i / i qr e i / i qn U q ( r ) = e i / i q ( r + n ) U q ( r ) .

U q (r + n) = U q (r),

що й затверджувалося. Якщо в рівняння Шредінгера

- i 2 /2 m Ñ 2 y ( r ) + V ( r ) y ( r ) = E y ( r )

підставити функцію Блоха, то отримаємо рівняння

( i 2 /2 m  ( Ñ + i / i  q ) 2 + E ( q ) - V ( r ) ) U q ( r ) = 0.

Нехай є нескінченна кубічна кристалічна решітка, в якій рухається електрон, що відштовхується на гранях. Потенціал - адитивний:

причому відштовхування моделюється дельта-функціями:

V (r i ) = d (r i -na ),

нескінченно високі нескінченно тонкі потенційні бар'єри. Розділяючи змінні, прийдемо до одновимірних завдань типу

- i 2 /2 m  y RR (x) + V (x) y(x) = E y(x),

де потенціал V (x) називається «гребінкою Дірака». Усередині одного осередку, тобто. в інтервалі 0 x a потенціал дорівнює нулю, так що рівняння Шредінгера записується як

- i 2 /2 m  y RR (x) = E y (x),

і має рішення

y ( x ) = A e i / i px + B e - i / i px , E = p 2 /2 m .

Одна гранична умова дає умову періодичності, з якої випливає (див. вище)

y ( x + a) = e i / i qa y ( x ).

Отримаємо тепер умови зшивання рішень при x x >0 у точці x =0, для чого запишемо в околиці цієї точки рівняння Шредінгера

- i 2 /2 m  y RR (x) + V 0 (x) d (x) y (x) = E y (x).

Інтегруємо його за малим інтервалом (- e , e ) спрямовуючи потім e ® 0:

Так як y( x ) безперервна, то при e ® 0 член праворуч прагне нуля, і

- i 2 /2 m  ( y R (e )- y R (-e ))+ V 0 y(0) = 0 ,

y R (e) - y R (-e) = 2 m V 0/ i 2  y (0 ).

Але з умови періодичності

y q ( a -e ) = e iqa / i y q (-e ) Þ y R q (-e ) = e - iqa / i y R q ( q -e ),

y R q (e) - e - iqa / i y R q (a -e) = 2 m V 0/ i 2  y q (0).

Отже, ми маємо таку систему граничних умов:

y q (a + e) = e iqa / i y q (e)

y R q ( e ) - y R q ( a - e ) e - iqa / i = 2 m V 0/ i 2  y q (0 ).

Для констант A і B , що входять до загального рішення, вони дають:

A e ipa / i + B e - ipa / I = e iqa / i ( A + B )

i/ i  pA - i/ i  pB - i/ i  pA e i ( p - q ) a / i +

+ i/i  pB e - i (p + q) a / i = 2 m V 0/ i 2 (+).

Для існування нетривіального рішення детермінант повинен дорівнювати нулю:

Легко розкриваючи його, отримаємо

cos pa / i + m V 0 / pi 2  sin pa / I = cos qa / i.

Це рівняння знаходження допустимих значень p , отже E . Воно можна розв'язати лише в тому випадку, якщо модуль правої частини не більше 1:

 cos pa / i + m V 0 / pi 2  sin pa / i   1.

Є цілі інтервали значень енергії, що задовольняють цій умові, і інтервали, що чергуються з ними, де умова не виконується. Таким чином, енергетичний спектр складається не з окремих рівнів, а є послідовністю заборонених і дозволених енергетичних зон.

Дозволені енергетичні зони називаються зонами Бріллюена.

Їхні межі визначаються із співвідношення

Можна показати, що зі зростанням енергії зони Бріллюена розширюються, а зазори між ними зменшуються, так що спектр наближається до безперервного.

КВАНТОВІ ДУЖКИ ПУАССОНА

Повернемося до картини Гейзенберга, в якій динамічні рівняння мають вигляд

А тепер згадаємо класичну механіку, в якій із канонічних рівнянь Гамільтона

слід, що будь-яка динамічна змінна f = f (p, q, t) змінюється в часі відповідно до рівняння

де < H , f Є звичайна (класична) дужка Пуассона

Бачимо, що у неї є прямий аналог - квантова дужка Пуассона:

Аналогія простягається досить далеко - і там, і тут мають місце властивості:

Дірак поставив таке завдання. Зіставити класичним величинам оператори так, щоб класична дужка Пуассона переходила в бінарну комбінацію з усіма формальними властивостями, перерахованими вище. І він показав, що цією умовою квантова дужка Пуассонавизначається майже однозначно:

де a - деяка універсальна стала, однакова всім пар наблюдаемых. Залишилося покласти a = 1/i. Власне кажучи, при строгій побудові квантової механіки саме тут уперше і з'являється постійна Планка, і такий спосіб її введення може бути просто її визначенням.

КАНОНІЧНЕ КВАНТУВАННЯ

У класичній механіці легко отримати такі дужки Пуассона:

Постулюємо, що з відповідних їм операторів у квантової механіці зберігаються самі співвідношення, але із заміною звичайних дужок Пуассона квантовими. Тоді одразу отримаємо

Це і є канонічний квантування. Найцікавіше наступне. Можна показати (теорема фон Неймана), що комутаційними співвідношеннями оператори визначаються практично однозначно - з точністю до перетворення унітарної еквівалентності. Значить досить пред'явити якусь одну пару (,) - наприклад, шредінгерівську x i,. А всі інші спостерігаються (крім спецфічних, типу спина) виражаються в квантовій механіці через і так само, як у класичній механіці.

ТЕОРЕМА ЕРЕНФЕСТУ

Як ми бачили, у будь-якій картині, у тому числі в шредінгеровській, середні значення змінюються у часі відповідно до рівняння

Застосуємо його до одновимірного руху частки з гамільтоніаном

вважаючи спочатку =, а потім =:

[ V (),] y (x) = V () y (x) - V () y (x) =

= - V (x) i i d y (x) / d x + i i d y (x) / d (V y) =

= - i i V d y ( x ) / d x + i i V d y ( x ) / d x + i i d V / d x y Þ [ V ( x ),] =

Підставляючи рівняння, отримаємо квантові аналоги рівнянь Гамільтона:

Диференціюючи перше рівняння за часом та підставляючи з другого, отримаємо квантовий аналог другого закону Ньютона:

Отже, середніЗначення координати та імпульсу підкоряються тим самим рівнянням, що у класичній механіці. Це і є теорема Еренфеста.