Область цілісності

Область цілісності(абоцілісне кільце, абообласть цілісностіабо простообласть) — поняття комутативної алгебри: асоціативне комутативне кільце з одиницею (нейтральною елементом щодо множення) і без дільників нуля (твір жодної пари ненульових елементів не дорівнює 0).

Діаграма включення деяких класів кілець:
комутативні кільця
∪
цілісні кільця
∪
факторіальні кільця
∪
області головних ідеалів
∪
евклідові кільця
∪
поля

Еквівалентне визначення: область цілісності - це комутативне кільце, в якому нульовий ідеал є простим. Будь-яка область цілісності є підкільцем свого поля приватних.

Зміст

  • Найпростіший приклад області цілісності - кільце цілих чисел Z> .
  • Будь-яке поле є областю цілісності. З іншого боку, будь-яка артинова область цілісності є полем. Зокрема, всі кінцеві області цілісності є кінцевими полями.
  • Кільце багаточленів з коефіцієнтами деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце Z [x] [x] & gt; багаточленів однієї змінної з цілими коефіцієнтами і кільце R [ x , y ] [x, y] & gt; багаточленів двох змінних із речовими коефіцієнтами. Також є цілісним кільце формальних статечних рядів з коефіцієнтами цілісного кільця.
  • Безліч дійсних чисел виду a + b 2 >> є підкільце поля R > , Отже, і область цілісності. Те ж саме можна сказати пробезліч комплексних чисел виду a + b i , де a і b цілі (безліч гаусових цілих чисел).
  • Нехай U - зв'язне відкрите підмножина комплексної площини C & gt; . Тоді кільце H (U) всіх голоморфних функцій f: U → C & gt; буде цілісним. Те саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язному підмножині аналітичного різноманіття.
  • Якщо K - комутативне кільце, а I - ідеал в K, то фактор кільце K / I цілісне тоді і тільки тоді, коли I - простий ідеал.

Ненульовий елемент q , що не є одиницею, називаєтьсянеприводимым, якщо його не можна розкласти у добуток двох елементів, що не є оборотними.

  • Будь-яке поле, а також будь-яке кільце з одиницею, що міститься в деякому полі, є цілісністю.
  • Назад, будь-яка область цілісності може бути вкладена в поле. Таке вкладення дає конструкція поля приватних.
  • Прямий добуток кілець ніколи не буває областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
  • Тензорний твір цілісних кілець теж буде цілісним кільцем.
  • Характеристика області цілісності або нулем, або простим числом.

    • Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є тіла, а також кільця тіл, що містять одиницю, наприклад цілі кватерніони. Однак невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.