Основи теорії ймовірностей - Математика
1. П'ять студентів сідають у поїзд, що має десять вагонів. Кожен із студентів з однаковою ймовірністю може сісти у будь-який із вагонів. Яка ймовірність того, що двоє студентів опиняться в одному вагоні, а решта – у різних?
Загальна кількість можливих елементарних результатів для даних випробувань дорівнює кількості способів, якими 5 студентів може сісти в один із 10 вагонів, тобто:
Підрахуємо кількість сприятливих наслідків події А:
Двоє студентів із п'яти сіли в один вагон (з 10):
- можливих поєднань 2 студентів із 5
- можливих наслідків
Один із студентів, що залишилися, сідає в один із 9 вагонів, що залишилися:
Кількість студентів для перебору – 3.
Кількість вагонів для перебору – 9.
Один із студентів, що залишилися, сідає в один з 8 вагонів, що залишилися: Кількість студентів для перебору - 2.
Кількість вагонів для перебору – 8.
Останній студентів сідає в один із 7 вагонів, що залишилися:
Кількість студентів для перебору – 1.
Кількість вагонів для перебору – 7.
Разом кількість сприятливих результатів
2. В одному альбомі зі 100 марок 45 марок погашено. В іншому альбомі, що містить таку ж кількість марок, погашених немає. З першого альбому до другого перекладено марку. Яка ймовірність того, що витягнута навмання марка з другого альбому виявиться непогашеною?
Позначимо через А подію - "вигадана навмання марка з другого альбому виявиться непогашеною".
Після того як з першого альбому переклали до другої одну марку, у другій урні виявилося дві сукупності марок:
100 не погашених марок, що спочатку містяться в альбомі;
Одна марка перекладена з першого альбому.
ЙмовірністьПоява непогашеної марки з першої сукупності дорівнює, т.к. всі марки, що спочатку містяться в альбомі, непогашені, а з другої.
Імовірність те, що витягнута навмання марка належить першої сукупності , де - у варіантів сприятливих події (100 марок у першій сукупності), і - загальна кількість варіантів (100 марок плюс одна перекладена з першого альбому). Аналогічно імовірність того, що витягнута навмання марка належить другій сукупності.
Використовуючи формулу повної ймовірності, отримаємо:
Відповідь:
3. Що вірогідніше: при киданні чотирьох гральних кісток хоча б на одній отримати одиницю, або при 24-х киданнях двох гральних кісток хоча б один раз отримати дві одиниці?
Позначимо А подію - при киданні чотирьох гральних кісток хоча б на одній випаде одиниця.
Імовірність випадання одиниці всім кісток однакова і дорівнює, відповідно ймовірність випадання іншого числа дорівнює.
Подія А має на увазі випадання одиниці на одній гральній кістці або на двох, на трьох, на чотирьох. Зворотною для цієї події буде подія, при якій на жодній гральній кістці не випаде одиниці. Знайдемо ймовірність цієї події. Випадання числа відмінного від одиниці на кожному з 4 кубиків це незалежні події, тому застосувати теорему множення, отримаємо:
Імовірність події А дорівнює:
Подія В - при 24х киданнях 2х кісток хоча б раз випаде дві одиниці.
Імовірність випадання двох одиниць дорівнює, ймовірність випадання однієї чи нуля одиниць дорівнює.
Для обчислення ймовірності появи події так само зручно знайти ймовірність зворотного події, тобто. ймовірність події при якому в жодному випробуванні не випаде двох одиниць. Для обчислення ймовірностіскористаємося формулою Бернуллі:
Імовірність події У дорівнює:
Відповідь: подія А найімовірніше.
4. Кожен із п'яти студентів може з однаковою ймовірністю сісти в будь-якому з чотирьох автобусів, що йдуть один за одним. Побудувати ряд розподілу, знайти функцію розподілу, математичне очікування та середнє квадратичне відхилення числа студентів, що сіли у перший автобус. Знайти ймовірність того, що: а) у перший автобус сів хоча б один студент; б) у перший автобус село не більше трьох студентів.
Імовірність студента сісти в один із 4-х автобусів дорівнює , ймовірність для всіх студентів однакова, .
Побудуємо низку розподілу випадкової величини Х - кількість студентів, що сіли в перший автобус.
Обчислимо ймовірність для кожного , використовуючи формулу Бернуллі:
Побудуємо ряд розподілу випадкової величини Х:
Знайдемо математичне очікування за формулою:
Дисперсію знайдемо за формулою:
Середньоквадратичне відхилення:
а) ймовірність того, що в перший автобус сів хоча б один студент:
сума ймовірностей ряду розподілу дорівнює одиниці, тому допустимо обчислити ймовірність від зворотного (в автобус не село жодного студента).
б) ймовірність того, що в перший автобус село не більше трьох студентів: можна розглянути подію: в автобус не село 4 або 5 студентів.
5. Розподіл випадкової величини X визначається густиною розподілу ймовірностей (розподіл Лапласа): . Знайти функцію розподілу ймовірностей F(x) та побудувати графіки функцій f(x) та F(x). Знайти M(X), D(X) та σ. Обчислити ймовірність влученнявипадкової величини X у проміжок.
За визначенням функція розподілу це інтеграл від щільності розподілу:
Для інтегрування необхідно розглянути два випадки: і
Графіки функцій для
Математичне очікування та дисперсія
У показнику експоненти функції щільності міститься модуль різниці, тому інтервал необхідно розбити на . Інтеграли беруться частинами, при підстановці нескінченностей розглядаються межі виду .
Обчислимо ймовірність попадання випадкової величини X у проміжок: