Похибки при вимірі фізичних величин, Теорія

При вимірі будь-якої фізичної величини неможливо визначити її справжнє значення. Похибки вимірювань можуть бути пов'язані з технічними труднощами (недосконалість вимірювальних приладів, обмежені можливості зорового апарату людини, за допомогою якого в багатьох випадках реєструються показання приладів, і т.д.), а також з низкою факторів, які важко чи неможливо врахувати (коливання температури повітря, рух потоків повітря поблизу вимірювального приладу, вібрації вимірювального приладу разом із лабораторним столом тощо).

Різниця між виміряним та істинним значеннями фізичної величини називається похибкою (помилкою) виміру.

Методичні похибки обумовлені недоліками методу вимірювання, що застосовується, недосконалістю теорії фізичного явища, до якого відноситься вимірювана величина, неточністю розрахункової формули. Наприклад, при зважуванні тіла на аналітичних вагах методична помилка може бути пов'язана з тим, що не враховується різниця штовхаючих сил, що діють з боку навколишнього повітря на тіло та разновесы. Методичні похибки можуть бути зменшені при зміні та вдосконаленні методу вимірювання, а також запровадженням уточнень чи поправок до розрахункової формули.

Приладові похибки зумовлені недосконалістю конструкції та неточністю виготовлення вимірювальних приладів. Наприклад, хід секундоміра може змінюватися при різких коливаннях температури, центр шкали секундоміра може не точно збігатися з віссю його стрілки і т.д. Зменшення приладової похибки досягається застосуванням більш точних (але водночас і дорожчих) приладів. Повністю усунути приладову похибку неможливо.

Випадковіпохибки викликаються багатьма факторами, які не піддаються обліку. Наприклад, показання чутливих важельних ваг можуть вплинути:

вібрації будівлі від автомобілів, що проїжджають вулицею
порошинки, що осідають на чашки ваг під час зважування
подовження однієї половини коромисла терезів, поблизу якої знаходиться рука експериментатора
і т.д.

Цілком позбутися випадкових похибок неможливо, але їх можна зменшити за рахунок багаторазового повторення вимірів. При цьому вплив факторів, що призводять до завищення та заниження результатів вимірювання, може частково компенсуватися. Розрахунок випадкових похибок провадиться на основі теорії ймовірностей.

Як результат вимірювання будь-якої фізичної величини приймають середнє арифметичне Аср серії з n вимірювань:

Модуль відхилення результату i-го виміру Аi від середнього арифметичного Аср називається абсолютною похибкою даного виміру:

Середньою абсолютною похибкою величини Аср серії з n вимірів називається величина:

Для порівняння точності вимірювання фізичних величин підраховують відносну похибку Е (яку зазвичай виражають у відсотках):

Остаточно результат виміру фізичної величини А подають у вигляді:

причому як абсолютну похибку АА приймають найбільшу з середньої абсолютної і приладової похибок (у більш строгих розрахунках похибка АА вибирають на підставі зіставлення випадкової та приладової похибок). Подібний запис свідчить, що справжнє значення вимірюваної величини укладено в інтервалі від Аср - ▵А до Аср + ▵А.

На шкалах багатьох вимірювальних пристроїв вказується так званий клас точності. Умовним позначенням класу точності є цифра,обведена гуртком. Клас точності визначає абсолютну похибку приладу у відсотках від найбільшого значення величини, яке може бути виміряне цим приладом. Наприклад, амперметр має шкалу від 0 до 5 А, його клас точності дорівнює 1,0. Абсолютна похибка виміру сили струму таким амперметром становить 1,0 % від 5 А, тобто. ▵Апріб =±0,05 А.

Якщо клас точності на шкалі приладу не вказано, то абсолютну похибку приладу зазвичай приймають рівною половині ціни найменшого поділу шкали приладу. Наприклад, абсолютна похибка вимірювання довжини міліметрової лінійкою часто приймається ±0,5 мм.

При визначенні абсолютної похибки приладу за ціною розподілу слід звертати увагу на те, як проводиться вимірювання даним приладом, чим і як реєструються результати вимірювання, якою є відстань між сусідніми штрихами на шкалі приладу і т.д. Якщо, наприклад, відстань від підлоги до підвішеного на нитці вантажу вимірюється за допомогою міліметрової лінійки без будь-яких покажчиків, візирів тощо, абсолютна похибка вимірювання не може бути прийнята меншою 1 мм. Приладова похибка приймається рівною ціною розподілу і в тих випадках, коли розподілу на шкалі приладу нанесені дуже часто, коли покажчиком приладу є не плавно переміщається, а стрілка, що «скача» (як, наприклад, у ручного секундоміра), і т.д.

Розглянемо приклад обробки результатів прямих вимірів. При прямому вимірі деякої фізичної величини А виконують такі дії:

вимірюють фізичну величину n разів (А1, А2, …, Аn)
знаходять середнє значення вимірюваної величини Аср за формулою
знаходять абсолютні похибки кожного виміру та середню абсолютну похибку всієї серії вимірів за формулою; як абсолютна похибкаберуть або середню абсолютну похибку, або приладову похибку (залежно від того, яка з цих похибок більша)
записують результати вимірювань у вигляді, поданому формулою
округляють абсолютну похибку результату до двох значущих цифр, якщо перша з них 1 або 2, і до однієї значущої цифри у всіх інших випадках; середнє значення вимірюваної величини округляється або уточнюється
підраховують відносну похибку результату

Приклад. Вимірювання діаметра d кульки проводилося п'ять разів за допомогою мікрометра, абсолютна похибка якого dприб = ±0,01 мм. Результати вимірювання діаметра кульки: d1 = 5,27 мм, d2 = 5,30 мм, d3 = 5,28 мм, d4 = 5,32 мм, d5 = 5,28 мм.

Знаходимо середнє значення діаметра кульки: dср = (5,27 + 5,30 + 5,28 + 5,32 + 5,28) / 5 = 5,29 мм. Абсолютні похибки вимірювань рівні: ▵d1 = 0,02 мм, ▵d2 = 0,01 мм, ▵d3 = 0,01 мм, ▵d4 = 0,03 мм, ▵d5 = 0,01 мм, а середня абсолютна похибка: ▵dср = (0,02 + 0,01 + 0,01 + 0,03 + 0,01) / 5 = 0,016 мм.

Оскільки середня абсолютна похибка більша за приладову, результат вимірювання d = (5,290 ± 0,016) мм.

Відносна похибка вимірювання діаметра кульки Е = 0,016 / 5,29 = 0,003 = 3%.