Проходження частинок через потенційний бар’єр
Нехай частка, що рухається зліва направо, зустрічає на своєму шляху потенційний бар'єр висоти та ширини. За класичними уявленнями поведінка частки має такий характер. Якщо енергія частки більше висоти бар'єру , частка безперешкодно проходить над бар'єром (на ділянці лише зменшується швидкість частинки, але потім знову приймає первісне значення) Якщо ж Е менше (як зображено на малюнку), то частка відбивається від бар'єра і летить у зворотний бік; крізь бар'єр частка проникнути не може.
Зовсім інакше виглядає поведінка частки згідно з квантовою механікою. По-перше, навіть при є відмінна від нуля ймовірність того, що частка відіб'ється від бар'єру і полетить у зворотний бік. По-друге, при Е є відмінна від нуля ймовірність того, що частка проникне «крізь» бар'єр і виявиться в області, де Така, абсолютно неможлива з класичної точки зору, поведінка мікрочастинки випливає безпосередньо з рівняння Шредінгера.
Розглянемо випадок. У цьому випадку рівняння має вигляд
для областей I та III та
для області II, причому
Шукатимемо рішення рівняння (26.1) у вигляді (див. § 52 1-го тому). Підстановка цієї функції (26.1) призводить до характеристичного рівняння:
Таким чином, загальне рішення рівняння (26.1) має вигляд
Розв'язавши підстановкою рівняння (26.2), отримаємо загальне рішення цього рівняння у вигляді
Зауважимо, що розв'язання тзида відповідає хвилі, що розповсюджується в позитивному напрямку осі, а рішення виду — хвилі, що розповсюджується в протилежному напрямку. Щоб це зрозуміти, пригадаємо, що звичайна (звукова, електромагнітна і т. п.) плоска хвиля, що розповсюджується в напрямку зростання описується речовинною частиною виразу хвиля,Частина, що рухається в позитивному напрямку осі, зіставляється функція (див. формулу (21.6)). Якщо відкинути в цій функції тимчасовий множник, то для вийде вираз Для частки, що рухається в протилежному напрямку, вийде
В області III є тільки хвиля, що пройшла через бар'єр і ліворуч, що поширюється. Тому коефіцієнт у виразі (26.4) слід покласти рівним нулю. Для знаходження інших коефіцієнтів скористаємося умовами, яким повинна задовольняти функція Для того щоб була безперервна у всій області змін х від до повинні виконуватися умови: Для того щоб була гладкою, тобто не мала зламів, повинні виконуватися умови: З цих умов випливають співвідношення :
Розділимо всі рівняння на і введемо позначення:
Тоді рівняння (26.7) набудуть вигляду
Відношення квадратів модулів амплітуд відбитої та падаючої хвилі
визначає ймовірність відбиття частки від потенційного бар'єру і може бути названо коефіцієнтом відбиття.
Відношення квадратів модулів амплітуд минулої та падаючої хвилі
визначає можливість проходження частки через бар'єр і може бути названо коефіцієнтом проходження (або коефіцієнтом прозорості).
Нас цікавитиме лише проходження частинок через бар'єр, і ми обмежимося знаходженням величини D. Правда, знайшовши D, легко знайти R, оскільки ці коефіцієнти пов'язані з очевидним співвідношенням:
Помножимо перше із рівнянь (26.9) на i і складемо з третім. В результаті отримаємо:
Тепер помножимо друге з рівнянь (26.9) на i і віднімемо його з четвертого. Отримаємо:
Вирішивши спільно рівняння (26.11) та (26.12), знайдемо, що
Зрештою, підставивши знайденінами значення у друге з рівнянь (26.9), отримаємо вираз для :
зазвичай буває набагато більше одиниці. Тому в знаменнику виразу для доданків, що містить множник можна знехтувати порівняно з доданком, що містить множник (комплексні числа і мають однаковий модуль). Отже, можна покласти
Відповідно до (26.10) квадрат модуля цієї величини дає ймовірність проходження частки через потенційний бар'єр. Врахувавши, що отримаємо:
Вираз має величину порядку одиниці. Тому можна вважати, що
З отриманого виразу випливає, що ймовірність проходження частки через потенційний бар'єр сильно залежить від ширини бар'єру l і від його перевищення над Е, тобто від . Якщо за якийсь ширині бар'єра коефіцієнт проходження D дорівнює, припустимо, 0,01, то зі збільшенням ширини удвічі D стане рівним , т. е. зменшується в 100 раз. Той самий ефект у разі викликало б зростання вчетверо величини . Коефіцієнт проходження різко зменшується зі збільшенням маси частки.
Відповідний розрахунок дає, що у разі потенційного бар'єру довільної ферми (рис. 26.2) формула (26,13) має бути замінена більш загальною формулою:
При подоланні потенційного бар'єру частка проходить через «тунель» у цьому бар'єрі (див. заштриховану область на рис. 26.2), у зв'язку з чим розглянуте нами явище називають тунельним ефектом.
З класичної погляду тунельний ефект представляється абсурдним, оскільки частка, «що у тунелі», мала б мати негативної кінетичної енергією (в тунелі ). Однак тунельний ефект - явище специфічно квантове, що не має аналога у класичній фізиці. У квантовій механіці поділ повної енергії на кінетичну і потенційну немає сенсу, оскільки суперечить принципу невизначеності. Дійсно, той факт, що частка має певну кінетичну енергію Т, був би рівнозначний тому, що частка має певний імпульс . Аналогічно той факт, що частка має певну потенційну енергію 0, означав би, що частка знаходиться в точно заданому місці простору. Оскільки координата і імпульс частки не можуть одночасно мати певних значень, не можуть бути точно визначені Т і U. Таким чином, хоча повна енергія частинки Е має цілком певне значення, вона не може бути представлена у вигляді суми точно визначених енергій Т і V. Зрозуміло, що у разі висновок про негативності Т «всередині» тунелю стає безпідставним.