Розкладання квадратних тричленів на множники приклади та формули
Розкладання квадратних тричленів на множники відноситься до шкільних завдань, з якими рано чи пізно стикається кожен. Як його виконати? Яка формула розкладання квадратного тричлена на множники? Розберемося покроково за допомогою прикладів.
Загальна формула
Розкладання квадратних тричленів на множники здійснюється розв'язком квадратного рівняння. Це нескладне завдання, яке можна вирішити кількома методами – знаходженням дискримінанта, за допомогою теореми Вієта, існує і графічний спосіб розв'язання. Перші два способи вивчаються у середній школі.
Загальна формула має такий вигляд: lx 2 +kx+n=l(x-x1)(x-x2) (1)
Алгоритм виконання завдання
Щоб виконати розкладання квадратних тричленів на множники, потрібно знати теорему Віта, мати під рукою програму на вирішення, вміти знаходити рішення графічно чи шукати коріння рівняння другого ступеня через формулу дискримінанта. Якщо даний квадратний тричлен і його треба розкласти на множники, алгоритм дій такий:
1) Зрівняти вихідний вираз до нуля, щоб отримати рівняння.
2) Навести подібні доданки (якщо є така необхідність).
3) Знайти коріння будь-яким відомим способом. Графічний метод краще застосовувати у разі, якщо наперед відомо, що коріння - цілі та невеликі числа. Потрібно пам'ятати, що кількість коренів дорівнює максимальному ступеню рівняння, тобто квадратного рівняння коренів два.
4) Підставити значення х вираз (1).
5) Записати розкладання квадратних тричленів на множники.
Остаточно зрозуміти, як виконується це завдання, дозволяє практика. Ілюструють розкладання на множники квадратного тричленаприклади:
необхідно розкласти вираз:
Вдамося до нашого алгоритму:
2) подібні доданки зведені
3) за формулою Вієта знайти коріння для цього прикладу складно, тому краще скористатися виразом для дискримінанта:
4) Підставимо знайдене нами коріння в основну формулу для розкладання:
5) Тоді відповідь буде такою:
х 2 -17х +32 = (х-2,155) (х-14,845)
Перевіримо, чи відповідають знайдені дискримінантом рішення формулам Вієта:
Для цих коренів застосовується теорема Вієта, вони знайшли правильно, отже отримане нами розкладання на множники теж правильно.
Аналогічно розкладемо 12х2+7х-6.
У попередньому випадку рішення були нецілими, але дійсними числами, які легко знайти, маючи перед собою калькулятор. Тепер розглянемо складніший приклад, у якому коріння буде комплексним: розкласти на множники х 2+4х+9. За формулою Вієта коріння знайти не вийде, і дискримінант негативний. Коріння буде на комплексній площині.
Виходячи з цього, отримуємо корені, що нас цікавлять, -4+2i*5 1/2 і -4-2i*5 1/2 , оскільки (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .
Отримуємо розкладання, підставивши коріння в загальну формулу.
Ще один приклад: потрібно розкласти на множники вираз 23х2-14х+7.
Маємо рівняння 23х2 -14х +7 =0
Отже, коріння 14+21,166i та 14-21,166i. Відповідь буде такою:
23х 2 -14х +7 = 23 (х-14-21,166i) * (х-14 +21,166i).
Наведемо приклад, який можна вирішити без допомоги дискримінанта.
Нехай потрібно розкласти квадратне рівняння х2-32х+255. Очевидно, його можна вирішити і дискримінантом, проте швидше в цьому випадку підібрати коріння.