Симетричний ступінь 2-ї поверхні, 3-dimensional topologyвікі, FANDOM powered by Wikia
Як ввести комплексну структуру на симетричному ступені 2-ої поверхні з комплексною структурою?
Прямий спосіб
Лемма.Нехай f - голоморфна в області $U\subset\mathbb$. Тоді $ \Sigma_^n f(z_k) $ - Голоморфна функція від елементарних симетричних багаточленів $ \sigma_k $ від $ z_1, z_2, \ dots, z_n $.
Доказ.Позначимо $ p (z) = \ Pi_^ n (z-z_k) $ . Тоді
Зауважимо, що $\frac$ голоморфно залежить від $\sigma_k$. По теоремі про диференціювання інтеграла за параметром отримуємо необхідне.
Тепер виберемо атлас на $\Sigma^n F$, де F - компактна поверхня з комплексною структурою. Нехай $ z\in D^2\subset F. $ Тоді точка $ (z,z,\dots,z) $ включається в околицю $ (D^2)^n / S_n\hookrightarrow \mathbb^n $ , де $ (z_1,z_2,\dots,z_n)\mapsto (\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n) $ . Для решти точок $Sigma^n F$ вибір околиць із комплексною структурою аналогічний.
Нехай w(z) - нова координата на околиці точки $ z \ in F $ . Тоді в околиці точки $(z,z,\dots,z)\in\Sigma^n F$ виникає друга система координат $(\sigma_1(w_1,\dots,w_n),\dots,\sigma_n(w_1,\dots) , w_n)) $. Ця система координат го-
Інший спосіб
Можна показати, що комплексна структура на $\Sigma^n F$ залежить лише від комплексної структури на $F^n$. І тому введемо її інакше.
Визначення.Будемо називати безліч паростків $ \mathfrak $ безперервних функцій на топологічному просторі Xзадає комплексну структуру, якщо для будь-якої точки $ x\in X $ є карта $(U\ni x,f) $ , де $ f:U\to (D^2)^n $ - гомеоморфізм, а $ (D^2)^n $ - комплексний полідиск, причому паросток $ g\in\mathfrak \ Leftrightarrow g \ circ f $ - паросток голоморфної функції.
Вправа.На будь-якому комплексному різноманітті безліч паростків голоморфних функцій є "задає комплексну структуру" і навпаки, для задає комплексну структуру безлічі паростків існує єдина комплексна структура, в якій це безліч є паростками голоморфних функцій.
Нехай $\pi:F^n\to\Sigma^n F$ - проекція під дією $S_n$.
Розглянемо такі паростки g на $\Sigma^n F$, що $g\circ\pi$ - паросток голоморфної функції на $F^n$. Тоді ці паростки задають комплексну структуру на $\Sigma^n F$, що еквівалентно
Лемма.Нехай f - голоморфна функція в області $\mathbb^n$, інваріантна щодо дії $S_n$. Тоді f голоморфно залежить від елементарних симетричних багаточленів координат.
Доказ.Розглянемо точку $ z = (z_0, z_0, \ dots, z_0) \ in U $ . Тоді кожна однорідна компонента низки функції f у точці z є однорідним симетричним многочленом, отже, виражається через елементарні. Ряд для f абсолютно сходиться, тому неважливо в якому порядку підсумовувати доданки. Щоб позначити коло збіжності нового ряду, залишилося лише довести
Твердження.$ \forall\varepsilon>0\exist\delta>0 $ : якщо коефіцієнти наведеного багаточлена менше $ \delta $ , то коріння багаточлена менше $ \varepsilon $ .
Це випливає з відкритості відображення $(z_1,z_2,\dots,z_n)\mapsto(\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n) $.
Голоморфність функції f інших точках доводиться аналогічно.