Система числення 2

Що таке система числення?

Система числення - це сукупність прийомів і правил, за якими числа записуються та читаються.

Існують позиційні та непозиційні системи числення.

У непозиційних системах численнявага цифри (тобто той внесок, який вона вносить у значення числа) не залежить від її позиції у записі числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х у будь-якій позиції дорівнює просто десяти.

У позиційних системах численнявага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображують число. Наприклад, серед 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга — 7 одиниць, а третя — 7 десятих часток одиниці.

А сам запис числа 757,7 означає скорочений запис виразу:

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Підстава позиційної системи числення- кількість різних цифр, що використовуються для зображення чисел в даній системі числення.

За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число – два, три, чотири тощо. Отже, можливо безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четвіркова і т.д.

Як породжуються цілі числа у позиційних системах числення?

У кожній системі числення цифри упорядковані відповідно до їх значень: 1 більше 0, 2 більше 1 і т.д.

Просуваннямцифриназивають заміну її наступної за величиною.

Просунути цифру 1 означає замінити її на 2, просунути цифру 2 означає замінити на 3 і т.д. Просування старшої цифри (наприклад, цифри 9 у десятковій системі) означає заміну її на 0. У двійковій системі, яка використовує лише дві цифри- 0 і 1, просування 0 означає заміну його на 1, а просування 1 - заміну її на 0.

Для утворення цілого числа, наступного за будь-яким даним цілим числом, потрібно просунути найправішу цифру числа; якщо якась цифра після просування стала банкрутом, то треба просунути цифру, що стоїть ліворуч від неї.

Застосовуючи це правило, запишемо перші десять цілих чисел

у двійковій системі: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
у трійковій системі: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
у п'ятирічній системі: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
у вісімковій системі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Крім десяткової широко використовуються системи з основою, що є цілим ступенем числа 2, а саме:

Чому люди користуються десятковою системою, а комп'ютери двійковою?

Люди віддають перевагу десятковій системі, мабуть, тому, що з давніх часів рахували на пальцях, а пальців у людей по десять на руках і ногах. Не завжди і скрізь люди користуються десятковою системою числення. У Китаї, наприклад, тривалий час користувалися п'ятирічною системою числення.

А комп'ютери використовують двійкову систему тому, що вона має рядпереваг перед іншими системами:

для її реалізації потрібнітехнічні пристрої з двома стійкими станами(є струм - немає струму, намагнічний - не намагнічний і т.п.), а не, наприклад, з десятьма, - як у десятковій;
подання інформації у вигляді лише двох станівнадійноіперешкодостійко;
можливезастосуванняапарату булевої алгебридля виконання логічних перетворень інформації;
двійкова арифметика набагато простіша за десяткову.

Нестача двійкової системишвидке зростання числа розрядів, необхідні записи чисел.

Двійкова система, зручна для комп'ютерів, для людини незручна через її громіздкість та незвичний запис.

Переведення чисел із десяткової системи у двійкову і навпаки виконує машина. Однак, щоб професійно використовувати комп'ютер, слід навчитися розуміти слово машини. Для цього і розроблено вісімкову та шістнадцяткову системи.

Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно у три (вісімкова) та в чотири (шістнадцяткове) рази менше розрядів, ніж у двійковій системі (адже числа 8 і 16 — відповідно, третій та четвертий ступеня числа 2) .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Кількістьpрізних цифр, що вживаються в позиційній системі, визначає назву системи числення і називаєтьсяосновоюсистеми числення –"p". Будь-яке числоNу позиційній системі числення з основоюpможе бути представлене у вигляді полінома від основиp:

тутN– число,aj– коефіцієнти (цифри числа),p– основа системи числення (p>1). Прийнято подавати числа у вигляді послідовності цифр:

Переклад чисел у десяткову системуздійснюється шляхом складання статечного ряду з основою тієї системи (див. формулу 1.1), з якої число перекладається. Потім підраховується сума.