Ступінь багаточлена Вікіпедія
Многочлен(абополіномвід грец. πολυ- «багато» + лат. nomen «ім'я») від n змінних - це сума одночленів або, суворо, - кінцева формальна сума виду
∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n c_x_^>x_^>\cdots x_^>>, де
I.
Зокрема, багаточлен від однієї змінної є кінцевою формальною сумою виду
c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m +c_x^+\dots +c_x^>, де
- c i - фіксовані коефіцієнти,
- x - змінна.
Зміст
Вивчення та застосування
Вивчення поліноміальних рівнянь та його рішень становило чи не головний об'єкт «класичної алгебри».
З вивченням багаточленів пов'язаний цілий ряд перетворень у математиці: введення у розгляд нуля, негативних, а потім і комплексних чисел, а також поява теорії груп як розділу математики та виділення класів спеціальних функцій в аналізі.
Технічна простота обчислень, пов'язаних з багаточленами, в порівнянні з більш складними класами функцій, а також той факт, що безліч багаточленів щільно в просторі безперервних функцій на компактних підмножинах евклідового простору (див. апроксимаційна теорема Вейєрштраса), сприяли розвитку методів розкладання інтерполяції у математичному аналізі
Багаточлени також відіграють ключову роль в геометрії алгебри, об'єктом якої є множини, визначені як рішення систем многочленів.
Особливі властивостіПеретворення коефіцієнтів при множенні багаточленів використовуються в геометрії алгебри, алгебрі, теорії вузлів та інших розділах математики для кодування або вираження багаточленами властивостей різних об'єктів.
Пов'язані визначення
- Багаточлен виду c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n ^>x_^>\cdots x_^>>називаєтьсяодночленомабомономоммультиіндексу I = ( …, i n), \ dots, \, i_) & gt;.
- Одночлен, відповідний мультиіндекс I = ( 0 , ... , 0 ) називаєтьсявільним членом.
- Повним ступенем(ненульового) одночлена c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n x_^>x_^>\cdots x_^>>називається ціле число I = i 1 + i 2 + ⋯ + i n +i_+\dots +i_>.
- Безліч мультиіндексівI, для яких коефіцієнти c I>ненульові, називаєтьсяносієм многочлена, а його опукла оболонка -багатогранником Ньютона.
- Степенею многочленаназивається максимальна зі ступенів його одночленів. Ступінь тотожного нуля визначається значенням − ∞ .
- Багаточлен, що є сумою двох мономів, називаєтьсядвуленомабобіномом,
- Багаточлен, що є сумою трьох мономів, називаєтьсятричленом.
- Коефіцієнти многочлена зазвичай беруться з певного комутативного кільця R (найчастіше поля, наприклад, поля речових чи комплексних чисел). У цьому випадку, щодо операцій складання та множення багаточлени утворюють кільце (більше асоціативно-комутативну алгебру над кільцем R без дільників нуля) яке позначається R [x 1 , x 2 , … , x n ] . ,x_,\dots ,x_].>
- Для многочлена p(x) однієї змінної, рішення рівняння p(x) = 0 називається його коренем.
Поліноміальні функції
Нехай A є алгебра надкільцем R . Довільний многочлен p (x) ∈ R [x1, x2, …, xn], x_, \ dots, x_] & gt; визначає поліноміальну функцію
p R : A → A :A\to A> .
Найчастіше розглядають випадок A = R.
У випадку, якщо R є поле дійсних чи комплексних чисел (а також будь-яке інше поле з нескінченним числом елементів), функція f p : R n → R :R^\to R> повністю визначає многочлен p. Однак у загальному випадку це не так, наприклад: багаточлени p 1 ( x ) ≡ x (x)\equiv x> та p 2 ( x ) ≡ x 2 (x)\equiv x^> з Z 2 [x]_[x]> визначають тотожні функції Z 2 → Z 2 _\to \mathbb _> .
Поліноміальна функція одного дійсного змінного називається цілою раціональною функцією.
Види багаточленів
- Багаточлен однієї змінної називаєтьсяунітарним,нормованимабонаведеним[en]* , якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці.
- Багаточлен, всі одночлени якого мають один і той же повний ступінь, називається однорідним.
- Наприклад, x 2 + x y + y 2 +xy+y^>— однорідний багаточлен двох змінних, а x 2 + y + 1 +y+1>не є однорідним.
- Кільце многочленів над довільною областю цілісності є областю цілісності.
- Кільце багаточленів від будь-якого кінцевого числа змінних над будь-яким факторіальним кільцем є факторіальним.
- Кільце багаточленів від одного змінного над полем є кільцем головних ідеалів, тобто будь-який його ідеал може бути породжений одним елементом.
- Більшетого, кільце багаточленів від одного змінного над полем є евклідовим кільцем.
Роль неприведених багаточленів у кільці багаточленів подібна до участю простих чисел у кільці цілих чисел. Наприклад, вірна теорема: якщо добуток багаточленів p q ділиться на неприведений багаточлен λ, тоpабоqділиться на λ. Кожен многочлен, ступеня більшої за нуль, розкладається в даному полі до твір ненаведених множників єдиним чином (з точністю до множників нульового ступеня).
Наприклад, багаточлен x 4 − 2 -2> , що не наводиться в полі раціональних чисел, розкладається на три множники в полі дійсних чисел і на чотири множники в полі комплексних чисел.
Взагалі, кожен многочлен від одного змінного x розкладається у полі дійсних чисел на множники першого і другого ступеня, у комплексних чисел — на множники першого ступеня (основна теорема алгебри).
Для двох і більше змінних цього вже не можна стверджувати. Над будь-яким полем для будь-якого 2>n> 2 2> 2"/> існують багаточлени від n змінних, які не наводяться в будь-якому розширенні цього поля. Такі багаточлени називаються абсолютно непривідними.