Сувора аналогія
Характерною відмітною ознакою суворої аналогії є наявність необхідного зв'язку між подібними ознаками і ознакою, що переноситься. Схема суворої аналогії така:
ПредметAмає ознакиa,b, с,d, e.
ПредметВмає ознакиa, b,с, d.
Із сукупності ознака,b, с,dнеобхідно випливатиe.
ПредметBобов'язково має ознакуe.
Сувора аналогія застосовується у наукових дослідженнях, математичних доказах. Наприклад, формулювання ознак подібності трикутників полягає в суворої аналогії: “Якщо три кути одного трикутника рівні трьом кутам іншого трикутника, ці трикутники подібні” (подібність - вид аналогії).
На строгій аналогії заснований метод моделювання. Відомо, що єдність природи виявляється у “вражаючій аналогічності” диференціальних рівнянь, що належать до
різним областям явищ. У фізиці ці аналогічні явища дуже часті. Наприклад, аналогічними рівняннями описуються корпускулярно-хвильові властивості світла та аналогічні властивості електронів. Закон Кулона, що визначає силу електростатичної взаємодії двох нерухомих один щодо одного точкових зарядівq1таq2,,відстань між якими r,виражається формулою:
Аналогічною формулою виражений закон всесвітнього тяжіння Ньютона:
Тут ми бачимо строгу аналогію, в якій ознаками, що переносяться, є не властивості, а відносини між різними об'єктами (електричними зарядами і масами речовини), виражені аналогічною структурою формул.
Сувора аналогія дає достовірний висновок, тобто e. істину, що позначається в багатозначних логіках,класичної логіки, теоретично ймовірностей через 1. Ймовірність виведення за суворою аналогією дорівнює 1.
Нестрога аналогія
На відміну від суворої аналогії несувора аналогія дає не достовірне, лише ймовірне висновок. Якщо хибне судження позначити через 0, а істину через 1, то ступінь ймовірності висновків по аналогії лежить в інтервалі від 1 до 0, т. e. 1>Р(а)>0,деР(а)-ймовірність укладання за нестрогою аналогією.
Прикладами суворої аналогії є, зокрема, такі: випробування моделі корабля в басейні і висновок, що справжній корабель матиме ті ж параметри, випробування міцності моста на моделі, потім побудова справжнього моста. Якщо суворо виконано всі правила
побудови і випробування моделі, цей спосіб умовиводу може наближатися до суворої аналогії і давати достовірне висновок, проте частіше висновок буває ймовірним. Різниця в масштабах між моделлю та прототипом (самою спорудою) іноді буває не лише кількісною, а й якісною. Не завжди також можна врахувати різницю між лабораторними умовами (випробування) моделі та природними умовами роботи самої споруди, тому виникають помилки.
Приклади таких аналогій численні. Відродження старих ідей під час створення нової техніки - зараз закономірний процес. В даний час, наприклад, вітрильні судна та дирижаблі знову виходять на сцену, але вони пов'язані з минулою технікою лише за віддаленою аналогією, оскільки створюються тепер за останніми технічними досягненнями та оснащені сучасним обладнанням та ЕОМ.
Людина з метою керування часто використовує аналогові машини. На кораблі, щоб у шторм максимально зняти дію бортової хитавиці, встановлюються спеціальні ласти, рухом якихкерує аналогова машина. Вирішуючи диференціальне рівняння руху хвиль, вона як би заздалегідь "передбачає" хвилю, що набігає, і за допомогою ласт коригує положення корабля. Аналогові машини успішно застосовуються й у керування польотом літака, зокрема під час посадки, виконуючи функції пілота при густому тумані над аеродромом.
У математичних доказах використовується лише строга аналогія, а під час вирішення завдань (арифметичних, геометричних та інших.) застосовується або алгоритм, або нестрога аналогія з вирішеними однотипними завданнями. Значна кількість цікавих прикладів використання аналогій у математиці міститься у книзі Д. Пойа "Математика і правдоподібні міркування".
Аналогія в математиці використовується і тоді, коли, намагаючись вирішити запропоноване завдання, ми починаємо з іншого, простішого. Наприклад, при розв'язанні задачі із стереометрії ми знаходимо подібне завдання у планіметрії; зокрема, вирішуючи задачу про діагональ прямокутного паралелепіпеда, ми звертаємося до задачі про діагональ прямокутника. У геометрії є аналогія
між колом та кулею. Існують дві аналогічні теореми: "З усіх плоских фігур рівної площі найменший периметр має коло" та "З усіх тіл рівного об'єму найменшу поверхню має кулю". Д. Пойя пише: “. Сама природа розташована на користь кулі. Дощові краплі, мильні бульбашки, Сонце, Місяць, наша Земля, планети кулясті або майже кулясті” 1 .
Д. Пойа наводить кумедну аналогію з галузі біології:
коли холодної ночі кіт готується до сну, він підтискає лапи, згортається і таким чином робить своє тіло наскільки можливо кулястим, очевидно, для того, щоб зберегти тепло, зробити мінімальним його виділення через поверхню свого тіла. “Кіт, – продовжує Д.Пойа, - не має жодного наміру зменшити свій обсяг, намагається зменшити свою поверхню. Він вирішує задачу про тіло з цим об'ємом та найменшою поверхнею, роблячи себе можливо більш кулястим” 2 .
Цю аналогію можна використовувати як уроках математики, і на уроках біології.
Для підвищення ступеня вірогідності висновків по суворій аналогії слід виконати низку умов:
1) число загальних ознак має бути можливо більшим;
2) необхідно враховувати рівень суттєвості подібних ознак, тобто. подібні ознаки мають бути суттєвими. Аналогія з урахуванням подібності несуттєвих ознак типова для ненаукового і дитячого мислення. Діти можуть з'їсти отруйні ягоди на основі їхньої зовнішньої подібності зі їстівними. Але іноді і на основі суто зовнішньої ознаки можна зробити відкриття, як це було у разі відкриття алмазів у Якутії;
3) загальні ознаки повинні бути якомога більш різнорідними;
4) необхідно враховувати кількість та суттєвість пунктів відмінності. Якщо предмети розрізняються у суттєвих ознаках, то висновок за аналогією може бути хибним;
5) переносимий ознака може бути такого самого типу, як і подібні ознаки.
'Пойа Д.Математика та правдоподібні міркування. М., 1975. З. 187.