Тензор енергії-імпульсу поля прискорень
Тензор енергії-імпульсу поля прискорень- симетричний чотиривимірний тензор другого рангу, що описує щільність і потік енергії та імпульсу поля прискорень у речовині. Даний тензор, а також тензор енергії-імпульсу гравітаційного поля, тензор енергії-імпульсу електромагнітного поля, тензор енергії-імпульсу поля дисипації та тензор енергії-імпульсу поля тиску входять до рівняння для визначення метрики в підступній теорії гравітації. Коваріантна похідна тензора енергії-імпульсу поля прискорень дозволяє обчислити щільність 4-сили, що діє речовині.
Зміст
Визначення
У ковариантной теорії гравітації (КТГ) поле прискорень вважається не скалярним, а 4-векторним полем, 4-потенціал якого складається з скалярної та 3-векторної компонент. У КТГ тензор енергії-імпульсу поля прискорень був визначений Федосіним через тензор прискорень (
u_\) та метричний тензор \(
g^\) з принципу найменшої дії: [1] $$
\eta \) - Постійна поля прискорення, що визначається через фундаментальні постійні та фізичні параметри системи. Поле прискорень сприймається як компонента загального поля.
Компоненти тензора енергії-імпульсу поля прискорень
Так як тензор прискорень складається з компонента напруженості поля прискорень \(
\mathbf< S>\) та соленоїдального вектора прискорень \(
\mathbf\), то тензор енергії-імпульсу поля прискорень можна виразити через ці компоненти. У межі спеціальної теорії відносності метричний тензор перестає залежати від координат і часу і в цьому випадку тензор енергії-імпульсу поля прискорень набуває найпростішого вигляду: $$
Тимчасові компоненти тензора позначають:
1) об'ємна щільність енергії поля прискорень $$
B^= \varepsilon_a = \frac\left(S^2+ c^2 N^2 \right).$$
2) вектор густини імпульсу поля прискорень \(
\mathbf =\frac< 1> < c^2>\mathbf, \) де вектор щільності потоку енергії поля прискорень: $$
Внаслідок симетрії тензора за індексами \( P^= P^, P^= P^, P^= P^\), так що \( \frac< 1> < c>\mathbf= c \mathbf .\)
3) Просторові компоненти тензора утворюють 3 x 3 підматрицю, яка є 3-мірним тензором щільності потоку імпульсу поля прискорень, взятим зі знаком мінус. Цей 3-мірний тензор можна записати в наступному вигляді: $$
\sigma^
= \frac \left( S^p S^q + c^2 N^p N^q - \frac \delta^ (S^2 + c^2 N^2 ) \right) ,$$
де \(p,q =1,2,3, \) компоненти \(S^1=S_x, \) \(S^2=S_y, \) \(S^3=S_z, \) \(N^ 1=N_x, \) \(N^2=N_y, \) \(N^3=N_z, \) символ Кронекера \(\delta^\) дорівнює 1 при \(p=q, \) і дорівнює нулю при \(p \not=q. \)
Тривимірна дивергенція тензора щільності потоку імпульсу поля прискорень пов'язує щільність сили та швидкість зміни щільності імпульсу поля прискорень: $$
f^p \) позначають компоненти тривимірної щільності сили прискорення, \(
K^p \) - Компоненти вектора щільності потоку енергії поля прискорень.
Щільність 4-сили та рівняння поля
З принципу найменшої дії випливає, що 4-вектор густини сили \(
f_\alpha \) може бути знайдений через тензор енергії-імпульсу поля прискорень, або через добуток тензора поля прискорень та масового 4-струму: $$
f_\alpha = \nabla_\beta ^\beta = - u_ J^k. \qquad (1) $$
Рівняння поля прискорень записуються так: $$
\nabla_n u_ + \nabla_i u_ + \nabla_k u_=0, $$ $$
В рамках спеціальної теорії відносності згідно (1) для компонент густини 4-сили можназаписати: $$
f_\alpha = (- \frac \cdot \mathbf >, - \mathbf ),$$ де \(
\mathbf= - \rho \mathbf - [\mathbf \times \mathbf ]\) – 3-вектор щільності сили, \(
\rho \) - щільність речовини, що рухається, \(
\mathbf =\rho \mathbf \) - 3-вектор щільності масового струму, \(
\mathbf \) - 3-вектор швидкості руху елемента речовини.
У просторі Мінківського рівняння поля прискорень перетворюються на чотири рівняння для вектора напруженості поля прискорень \(
\mathbf< S>\) та соленоїдального вектора прискорень \(
\nabla \cdot \mathbf < S>= 4 \pi \eta \rho,$$ $$
\nabla \cdot \mathbf < N>= 0,$$ $$
Рівняння для метрики
У коваріантній теорії гравітації тензор енергії-імпульсу поля прискорень відповідно до принципів метричної теорії відносності є одним із тензорів, що визначають метрику всередині тіл за допомогою рівняння для метрики: $$
\beta \) - Коефіцієнт, що підлягає визначенню, \(
W_\) – відповідно тензори щільності енергії-імпульсу поля прискорень, поля тиску, гравітаційного та електромагнітного полів, \(
Рівняння руху
Рівняння руху точкової частки всередині або за межами речовини може бути представлене в тензорному вигляді, за участю тензора енергії-імпульсу поля прискорень \(B ^\) або тензора прискорень \( u _\) : $$
- \nabla_k \left(B^ + U^ +W^+ P^ \right) = g^\left(u_ J^k + \Phi_ J^k + F_j^k + f_ J^k \right) = 0. \qquad (2)$$
F_\) - тензор електромагнітного поля, \(
j^k = \rho_ u^k \) - зарядовий 4-струм, \(
\rho_\) - Щільність електричного заряду елемента речовини в системі його спокою, \(
Врахуємо тепер, що \(
J^k = \rho_ u^k \) є масовий4-струм, а тензор прискорень визначається через 4-потенціал у вигляді \(
u _= \nabla_n U_k - \nabla_k U_n. \) Це дає таке: [2] $$
\nabla_\beta ^\beta = - u_ J^k = - \rho_ u^k (\nabla_n U_k - \nabla_k U_n)= \rho_ \frac - \rho_ u^k \nabla_n U_k . \qquad (3)$$
u^k \nabla_k = \frac \), де \(
D \) - символ 4-диференціала у викривленому просторі-часі, \(
\tau \) - власний час, \(
\rho_0 \) є щільність маси в супутній системі відліку.
З урахуванням цього рівняння руху (2) набуває вигляду: $$
\rho_ \frac - \rho_ u^k \nabla_n U_k = - \nabla^k \left(U_ + W_+ P_ \right) = \Phi_ J^k + F_ j^k + f_ J^k. $$
Тимчасова компонента даного рівняння при (
n=0\) визначає швидкість зміни скалярного потенціалу поля прискорень, а просторова компонента при \(
n=123\) пов'язує швидкість зміни векторного потенціалу поля прискорень із щільністю діючих сил.
Закони збереження
i=0\) (2), тобто для тимчасової компоненти рівняння, в межі спеціальної теорії відносності з рівності нулю лівої частини (2) слід: $$
\mathbf\) - Вектор щільності потоку енергії поля прискорень, \(
\mathbf\) - Вектор щільності потоку енергії поля тиску.
Це співвідношення можна як локальний закон збереження энергии-импульса всіх чотирьох полів. [3]
Інтегральна форма закону збереження енергії-імпульсу виходить шляхом інтегрування рівняння (2) у всьому 4-обсязі. При інтегруванні (2) застосовується формула Гаусса-Остроградського, яка замінює інтегрування дивергенції суми тензорів за 4-об'ємом на інтегрування суми тимчасових компонентів тензорів за 3-об'ємом. В результаті в лоренцевих координатах виходитьінтегральний вектор, що дорівнює нулю: [4] $$
Рівність нулю інтегрального вектора дозволяє пояснити проблему 4/3, згідно з якою маса-енергія поля в імпульсі поля системи, що рухається в 4/3 більше, ніж в енергії поля нерухомої системи. З іншого боку, згідно з [3] узагальнена теорема Пойнтінга та інтегральний вектор повинні розглядатися по-різному в речовині та за її межами. В результаті виникнення проблеми 4/3 пов'язується з тим, що тимчасові компоненти тензорів енергії-імпульсу не утворюють 4-вектори і тому принципово не можуть задавати одну й ту саму масу енергії і в імпульсі полів.
Як у релятивістській механіці, і у загальній теорії відносності (ОТО), тензор енергії-імпульсу поля прискорень немає. Замість нього застосовується так званий тензор енергії-імпульсу речовини, що має в найпростішому випадку такий вигляд: (
\phi_< n \beta >= \rho_0 u_n u_\beta \). У ВТО тензор \(
\phi_< n \beta >\) підставляється в рівняння для метрики, а його коваріантна похідна дає наступне: $$
\nabla^\beta \phi _ = \nabla^\beta (\rho_0 u_n u_\beta) = u_n \nabla^\beta J_\beta + \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n . $$
У ВТО передбачається, що виконується рівняння безперервності як \(
\nabla^\beta J_\beta =0 .\) Тоді з урахуванням оператора похідної за власним часом коваріантна похідна тензора \(
\phi_< n \beta >\) дає добуток щільності на 4-прискорення, тобто щільність 4-сили: $$
\nabla^\beta \phi _ = \rho_0 u_\beta \nabla^\beta u_n = \rho_0 \frac . \qquad (4)$$
Проте рівняння безперервності справедливе лише рамках спеціальної теорії відносності як \(
\partial^\beta J_\beta = \partial_\beta J^\beta =0 .\) У викривленомупросторі-часу натомість мало б бути рівняння \(
\nabla^\beta J_\beta =0 \), проте замість нуля у правій частині в цьому рівнянні з'являється додатковий ненульовий член з тензором кривизни Рімана. [1] Внаслідок цього (4) не є точним виразом, і тензор (
\phi_< n \beta >\) визначає властивості речовини лише в спеціальній теорії відносності. На противагу цьому, в ковариантной теорії гравітації рівняння (3) записано в ковариантной формі, отже тензор енергії-імпульсу поля прискорень \(
B_< n \beta >\) описує поле прискорень частинок речовини у тому числі і в римановому просторі-часі.