ТЕОРЕМА ПІФАГОРА - Студопедія
Важко знайти людину, яка має ім'я Піфагора не асоціювалося б з теоремою Піфагора. Мабуть, навіть ті, хто у своєму житті назавжди розпрощався з математикою, зберігають спогади про «піфагорові штани» — квадрат на гіпотенузі, рівновеликий двом квадратам на катетах. Причина такої популярності теореми Піфагора триєдіна: це простота краса значимість. Насправді теорема Піфагора проста, але не очевидна. Це поєднання двох суперечливих почав і надає їй особливої привабливої сили, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має величезне значення: вона застосовується в геометрії буквально на кожному кроці, і той факт, що існує близько 500 різних доказів цієї теореми (геометричних, алгебраїчних, механічних тощо), свідчить про величезну кількість її конкретних реалізацій.
Так, оптиміст Михайло Ломоносов (1711 - 1765) писав: «Піфагор за винахід одного геометричного правила Зевесу приніс на жертву сто волів. Але якби за знайдені в нинішні часи від дотепних математиків правила щодо забобонної його ревнощів надходити, то якби в цілому світі стільки рогатої худоби знайшлося ».
А ось іронічний Генріх Гейне (1797-1856) бачив розвиток тієї ж ситуації дещо інакше: «Хто знає! Хто знає! Можливо, душа Піфагора переселилася в бідолаху кандидата, який не зміг довести теорему Піфагора і провалився через це на іспитах, тоді як у його екзаменаторах живуть душі тих бугаїв, яких Піфагор, зрадований відкриттям своєї теореми, приніс у жертву безсмертним богам».
І хоча сьогодні теорема Піфагора виявлена в різних приватних завданнях і кресленнях: і в єгипетському трикутнику в папірусі часів фараона Аменемхета I (бл. 2000 до н.е.), і в вавилонських клинописнихтабличках епохи царя Хаммурапі (XVIII ст. до н. е.), і в найдавнішому китайському трактаті «Чжоу-бі суань цзінь» («Математичний трактат про гномон»), час створення якого точно не відомий, але де стверджується, що в XII в. до зв. е. китайці знали властивості єгипетського трикутника, а до VI ст. до зв. е. - І загальний вид теореми, і в давньоіндійському геометрично-теологічному трактаті VII - V ст. до зв. е. «Сульва сутра» («Правила мотузки») — незважаючи на все це, ім'я Піфагора настільки міцно сплавилося з теоремою Піфагора, що зараз просто неможливо уявити, що це словосполучення розпадеться. Те саме стосується і легенди про закладання биків Піфагором. Та й навряд чи потрібно препарувати історико-математичним скальпелем гарні стародавні перекази.
Сьогодні прийнято вважати, що Піфагор дав перший доказ теореми, що носить його ім'я. На жаль, від цього доказу також не збереглося жодних слідів. Тому нам нічого не залишається, як розглянути деякі класичні докази теореми Піфагора, відомі з давніх трактатів. Зробити це корисно ще й тому, що у сучасних шкільних підручниках надається алгебраїчний доказ теореми. При цьому безслідно зникає первозданная геометрична аура теореми, губиться та нитка Аріадни, яка вела древніх мудреців до істини, а цей шлях майже завжди виявлявся найкоротшим і завжди красивим. Отже,
Теорема Піфагора.Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах.
Найпростіший доказ теореми виходить у найпростішому випадку рівнобедреного прямокутного трикутника. Ймовірно, з нього починалася теорема. Насправді, досить просто подивитися на мозаїку рівнобедрених прямокутних трикутників (рис. 56),щоб переконатися у справедливості теореми. Наприклад, для !ABC: квадрат, побудований на гіпотенузіAC, містить 4 вихідні трикутники, а квадрати, побудовані на катетах,— по два. Теорему доведено.
У IX книзі «Математики» вміщено креслення (рис. 57,а), що доводить теорему Піфагора. Ключ до цього доказу підібрати неважко. Справді, на давньокитайському кресленні чотири рівні прямокутні трикутники з катетамиa,bі гіпотенузоюcукладені так, що їх зовнішній контур утворює квадрат зі стороною , а внутрішній - квадрат зі стороноюc, побудований на гіпотенузі (рис. 57,б). Якщо квадрат зі стороноюcвирізати і 4 затушованих трикутника, що залишилися, укласти в два прямокутники (рис. 57,в), то ясно, що утворена порожнеча, з одного боку, дорівнює , а з інший - тобто. Теорему доведено.
Зауважимо, що за такого доказу побудови всередині квадрата на гіпотенузі, які ми бачимо на давньокитайському кресленні (рис. 57,а), не використовуються. Очевидно, давньокитайські математики мали інший доказ. Саме, якщо у квадраті зі стороноюcдва заштриховані трикутники (рис. 57,б) відрізати і прикласти гіпотенузами до двох інших гіпотенуз (рис. 57,г), то легко виявити, що отримана фігура, яку іноді називають «кріслом нареченої», складається з двох квадратів зі сторонамиaіb, тобто .
На малюнку 58 відтворено креслення із трактату «Чжоу-бі. ». Тут теорема Піфагора розглянута для єгипетського трикутника з катетами 3, 4 та гіпотенузою 5 одиниць виміру. Квадрат на гіпотенузі містить 25 клітин, а вписаний у нього квадрат на більшому катете — 16. Зрозуміло, що частина містить 9 клітин. Це і будеквадрат на меншому катете.
Мал. 58. "Теорема Піфагора" в найдавнішому китайському трактаті "Чжоу-бі суань цзінь".
Давньоіндійський доказ. Математики Стародавньої Індії помітили, що для доказу теореми Піфагора достатньо використовувати внутрішню частину давньокитайського креслення. У написаному на пальмовому листі трактаті «Сіддханта широмані» («Вінець знання») найбільшого індійського математика XII ст. Бхаскари вміщено креслення (рис. 59,а) з характерним для індійських доказів словом «дивись!». Як бачимо, прямокутні трикутники укладені тут гіпотенузою назовні і квадрат перекладається в «крісло нареченої» (рис. 59,б). Зауважимо, що окремі випадки теореми Піфагора (наприклад, побудова квадрата, площа якого вдвічі більша за площу даного квадрата — рис. 60) зустрічаються в давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» (VII — V ст. до н. е.).
Доказ Евкліда наведено у реченні 47 I книги «Початок». На гіпотенузі та катетах прямокутного трикутникаABCбудуються відповідні квадрати (рис. 61) і доводиться, що прямокутникBJLDрівновеликий квадратуABFH, а прямокутникJCEL- квадратуACKG. Тоді сума квадратів на катетах дорівнюватиме квадрату на гіпотенузі. Справді, затушовані на малюнку трикутникиABDіBFCрівні з обох сторін і куту між ними: , і . Але , оскільки у трикутникаABDі прямокутникаBJLDзагальна основаBDта загальна висотаLD. Аналогічно (BF- загальна основа,AB- загальна висота). Звідси, враховуючи, що маємо . Аналогічно, використовуючи рівність трикутниківBCKіACE, доводиться, що .
Отже, що й потрібно довести.
ДоведенняЕвкліда в порівнянні з давньокитайським або давньоіндійським виглядає надмірно складним. З цієї причини його нерідко називали «ходульним» та «надуманим». Але така думка є поверховою. Теорема Піфагора у Евкліда є заключною ланкою в ланцюзі речень I книги «Початок». Для того, щоб логічно бездоганно побудувати цей ланцюг, щоб кожен крок доказу був заснований на раніше доведених реченнях, Евкліду потрібен був саме обраний ним шлях. Читач може самостійно переконатися в цьому, прочитавши І книгу «Початок» і побудувавши ланцюг міркувань, аналогічний (2.3.1).
Метод рівноскладених фігур був дуже популярним у давнину. Ймовірно, тоді ж було винайдено головоломку, яку сьогодні називають «Піфагор». Неважко переконатися в тому, що в основі семи частин головоломки лежать рівнобедрений прямокутний трикутник і квадрати, побудовані на його катетах, або, інакше, фігури, складені з 16 рівнокутних рівнокутних прямокутних трикутників і тому укладаються в квадрат.
Така лише мала дещиця багатств, прихованих у перлині античної математики - теоремі Піфагора. Невипадково на обкладинці останнього видання «Математичного енциклопедичного словника» (М.: СЕ, 1988) малюнок з давньокитайського доказу теореми Піфагора відтворено золотими лініями як символ математики.
Але чому всі давні докази теореми Піфагора були геометричними? Чому древні греки так боялися алгебри і звели її до геометрії? Це дуже важливі питання, що визначили весь подальший після Піфагора шлях розвитку античної математики, ім'я якому - геометрична алгебра.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком: