Теорема складання ймовірностей несумісних подій
З виразу (3.4) можна одержати формулу для ймовірності добутку двох подій. Дійсно:
ПРИКЛАД 3: Впадають дві гральні кістки. Яка ймовірність появи хоча б однієї шістки?
РІШЕННЯ: Позначимо події: поява шістки на першій кістці, на другій кістці. Відомо, що це події спільні, тобто. шістка може випасти як на першій, так і на другій кістці.
- Для обчислень скористаємося формулою (3.4). Проте виникла складність, як обчислити ймовірність твори, тобто. ймовірність того, що на кожній із двох кісток випали шістки. За формулою класичної ймовірності кількість "вдалих" комбінацій дорівнює 1, а число всіх рівноможливих комбінацій обчислимо за правилом твору (комбінаторика):
- Розглянемо інший спосіб рішення, скориставшись наслідком закону складання ймовірностей:
Незалежність подій
Перед тим, як викласти теорему множення ймовірностей, введемо одне важливе поняття: поняття про залежні та незалежні події.
Подія називається незалежною від події, якщо ймовірність події не залежить від того, відбулася подія чи ні.
Подія називається залежною від події, якщо ймовірність події змінюється залежно від того, чи відбулася подія чи ні.
ПРИКЛАД 4: Підкидаються 2 монети. Розглянемо події:
появи герба на першій монеті;
Поява герба на другій монеті.
РІШЕННЯ: Очевидно, подія не залежить від того, чи відбулася подія чи ні. Подія незалежно від події.
ПРИКЛАД 5: У урні дві білі кулі та одна чорна. Двоє людей послідовно виймають по одній кулі, не повертаючи їх до урни. Розглянемо події:
Поява білої кулі у першої людини,
|поява білої кулі у другої людини.
РІШЕННЯ: Імовірність події дорівнює 2/3. Якщо стало відомо, що подія сталася, то в урні залишилося дві кулі, з яких лише одна біла. Тоді ймовірність події стає рівною 1/2. На цьому укладаємо, що подія залежить від події .
Імовірність події , обчислена за умови, що було інше подія , називається умовною ймовірністю події і позначається : .
Тепер умову залежності/незалежності подій можна висловити математично. Якщо співвідношення
мабуть, то події і називаються незалежними.
Якщо вірний вираз
то події і називаються залежними.
Розглянемо ще раз ПРИКЛАД 5, це так звана "урнова схема". У урні (закритої ємності) знаходиться білих та чорних куль. Двоє людей по черзі виймають по одній кулі з урни. Якщо реалізується схема без повернення , то події залежні. Якщо реалізується схема з поверненням , після кожного досвіду куля повертається в урну, то події незалежні.
Теорема множення ймовірностей
Теорема 3. Імовірність твору двох подій дорівнює твору ймовірностей одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену за умови, що перше мало місце:
Доведення. Припустимо, що з різних елементарних результатів події сприяють результатів, у тому числі результатів сприяють події . Тоді ймовірність події буде умовна ймовірність події щодо події дорівнює
Твору подій і сприяють ті результати, які сприяють і події , і події одночасно, тобто. результатів. Тому ймовірність твору подій і дорівнює
Помноживши чисельник і знаменник цього дробу на , отримаємо
Аналогічно можнапоказати що
Наслідок 1. Якщо подія не залежить від події, то і подія не залежить від події.
Доказ: Згідно з умовою, подія не залежить від події, тоді з урахуванням (3.10) отримаємо. Підставимо це рівняння у формулу (3. 12):
Отже, слідство доведено.
Наслідок 2. Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.
Доказ: Для незалежних обставин умовні можливості рівні безумовним, тобто.
ПРИКЛАД 6: Прилад, що працює протягом часу t складається з трьох вузлів, кожен з яких, незалежно від інших, може протягом часу t відмовити. Відмова хоча б одного вузла призводить до відмови приладу. За час t ймовірність безвідмовної роботи вузлів відповідно дорівнюють: р 1 = 0.8, р 2 = 0.9, р 3 = 0.7. Яка надійність приладу (імовірність безвідмовної роботи) за час t?
РІШЕННЯ: Позначимо події:
безвідмовна робота приладу;
безвідмовна робота першого вузла;
безвідмовна робота другого вузла;
безвідмовна робота третього вузла
Безвідмовна робота приладу забезпечується незалежною та безвідмовною роботою кожного із трьох вузлів, тобто: .
Тоді за теоремою множення ймовірностей незалежних подій отримаємо:
ПРИКЛАД 7: Ті, хто екзаменується з теорії ймовірностей, запропонували 34 квитки. Студент двічі витягує по одному квитку із запропонованих (не повертаючи їх). Яка ймовірність того, що студент складе іспит, якщо він підготував лише 30 квитків і вперше вийняв "невдалий" квиток?
РІШЕННЯ: Випробування полягає в тому, що двічі поспіль витягають по одному квитку, причому вийнятий вперше квиток назад не повертається. Нехай подію "вперше вийнять "невдалий" квиток", "вдруге вийнять"вдалий" квиток". Очевидно, що події і залежні, тому що витягнутий вперше квиток не повертається в число всіх квитків. Потрібно знайти ймовірність події За формулою множення ймовірностей: