Топологічні векторні простори - частина 47, Авторська платформа
Наступні властивості підмножини Р монтелевського простору рівносильні:
а) Р обмежено.
б) Р щодо компактно.
в) Р обмежено в ослабленій топології.
г) Р відносно компактно ослабленої топології.
9. Кожен монтелівський простір рефлексивний. Сильне поєднане до монтелевського простору є монтелівський простір (гл. IV, § 3, пропозиція 7).
10. Простором Фреше називається кожен повний метризується локально опуклий простір. Кожне замкнуте векторне підпростір простору Фреше і кожне факторпространство простору Фреше по його замкнутому векторному підпростору є просторами Фреше.
11. Так як простір Фреше метризується і повно, то до нього застосовна теорема про замкнутий графік (див. § 2, п° п° 6 і 7; § 3, л° 8). Зокрема, нехай оГ^ і J"2 -дві топології в тому самому векторному просторі Е, в кожній з яких Е є простір Фреше; якщо оГ^ мажорується топологією Г2, то ці дві топології збігаються.
12. Простір Фреше. Тому до нього застосовуються всі властивості діжкових просторів і насамперед теорема Банаха - Штейнгауза (п°п° 1-6). Якщо Е — простір Фреше і F — метрологічний топологічний векторний простір, то кожен окремо безперервний білінійний відображення твору Е X F в топологічний векторний простір G безперервно (гл. III, § 4, пропозиція 2).
13. Нехай Е-простір Фреш і Е' - його сполучене. Для того щоб опукла безліч A'czE' була замкнута в слабкій топології з(Е',Е), необхідно і достатньо, щоб А' П U° було замкнуто в топології а(Е', Е) для кожної околиці нуля U з Е (Гл. IV, § 2, теорема 5).
14. Банахівським простором називається кожен повний нормований простір. Кожен банахівський простір є простір Фреше (п°п° 10—13). Поповнення нормованого простору є банахівський простір.
15. Якщо Е та F—банахівські простори, то L(E, F), наділене нормою u = sup і(лс), є банахівський простір,
ll®ll ■ (і(х), у') па Е X F'.
20. Нехай Е - векторний простір над тілом речових або тілом комплексних чисел (позначається далі К). Ермітовою півторалінійною формою на Е називається кожне відображення (х, у) - (x у) твори Е X Е в К, що задовольняє наступним умовам:
1° (х\у) лінійно по л: і напівлінійно по у, 2° (у\х)=ЩУ).
^-0 всім х£Е, то форма (х\у) називається позитивної; якщо при цьому (jcjc) = 0 лише за х = 0, то вона називається невиродженою позитивною.
21. Векторний простір Е, наділений позитивною ермітовою напівторалінійною формою називається передгільбертовим простором, а форма (ху) - скалярним твором векторів х і у. л: = У(х\х) є напівнорма, що перетворює Е на локально опуклий простір.
Скалярний твір задовольняє нерівності Коші - Буняковського
1(*1.у) іу є ізометричне напівлінійне відображення простору Е на його сполучений Е'\ тому гільбертовий простір можна ототожнити з його сполученим (гл. V, § 1, теорема 3).
Кожен гільбертовий простір Е є рефлексивним банахівським простором. Одиничний шар л: ■ ((х 1 е,)), де (е,) — ортонормальний базис гільбертового простору Е, є ізоморфізм останнього на простір L.\(I).
26. У кожному відокремленому передгільбертовому просторі лічильного типу міститься лічильний ортонормальний базис (гл. V, § 2,пропозиція 6).
27. У кожному гільбертовому просторі існує ортонормальний базис, що містить задану ортонормальну родину; кожен гільбертовий простір має тому хоча б один, ортонормальний базис (гл. V, § 2, теорема 2). Будь-які два орто - нормальні базиси в одне. м тому ж гільбертовому просторі Е рівносильні (гл. V, § 2, пропозиція 7); їхнє кардинальне число називається гільбертовою розмірністю простору Е. Для того щоб два гільбертові простори були ізоморфні, необхідно і достатньо, щоб вони мали однакову гільбертову розмірність.
ДОДАТОК ДО ЗВЕДЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ
деякі топологічні векторні простори функціонального аналізу
Нехай 35к — простір всіх комплексних функцій, що нескінченно диференціюються на R", носій яких міститься в компактній множині К. Наділений топологією рівномірної збіжності кожної похідної, 3>к є монтелевський простір Фреше.
Об'єднання 35 всіх 35к (де До пробігає безліч всіх компактних підмножин простору R"), наділене індуктивною межею топологій просторів 35s, є строга індуктивна межа просторів Фреше і простір монтелевський.
Пов'язане 35' до 35—простір всіх розподілів har", наділений сильною топологією, є монтелевський простір, пов'язаним до якого служить тому 35".
Простір всіх нескінченно диференційованих комплексних функцій на r", наділений топологією компактної збіжності кожної похідної, є монтелевський простір Фреше.
Сполучене до $ - простір всіх розподілів на r™ з компактним носієм, наділений сильною топологією, є монтелівський простір, пов'язаний з яким служить тому t.
Простір £Ш (D) всіхГоломорфні функції в області DczС", наділене топологією компактної збіжності, є монтелівський простір Фреше.